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 Elastisch gelagerter Torsionsbalken |
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opal35
Junior 
Dabei seit: 16.04.2021
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2021-06-09
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Hallo Matheplanet,
Ich wende mich mit folgendem Problem an euch. Um eine analytische alternative für eine FE Rechnung zu finden, möchte ich ein statisch unbestimmtes Torsionselement mit der Torsions DGL berechnen. Dabei gibt es mehrere elastische Lager (3 Drehfedern). Um die Thematik vielleicht erstmal an einem einfacheren Modell zu diskutieren, denken wir uns einen Torsionsstab einheitlicher Steifigkeit \(GI_{t}\), der jeweils an den enden durch eine Drehfeder mit der jeweiligen Federkonstante \(c_{t1}\) und \(c_{t2}\) gelagert ist. Der Stab ist durch ein konstantes Streckenmoment \(m_{T}\)belastet. Hier die Skizze:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54513_SmartSelect_20210609-115004_Samsung_Notes.jpg
Der Stab hat eine Länge l und die Lagermomente werden entgegen der Richtung des Lastmoments angenommen.
Die DGL Lautet wie folgt:
\[GI \cdot \vartheta(x)^{\prime\prime} = -m_{T}\]
\[GI \cdot \vartheta(x)^{\prime} = -m_{T}*x+C_{1}\]
\[GI \cdot \vartheta(x) = -m_{T}\frac{x^{2}}{2} + C_{1}x + C_{2}\]
Die Annahme der Randbedingungen:
\[RBI \; \; \vartheta^{\prime}(0) = \vartheta(0)*c_{t1}\]
\[RBII \; \; \vartheta^{\prime}(l) = \vartheta(l)*c_{t2}\]
Nun habe ich alles in wxmaxima eingetragen und Ergebnisse für die Konstanten erhalten. Das Problem ist nun aber folgendes:
Mein Verständnis ist, dass egal wie weich die Lagerfedern sind, sie doch immer dem Lastmoment entgegenwirken müssen. Durch die Beschaffenheit der Integrationskonstanten kann aber es dazu kommen, dass durch die Differenz im Zähler sich ein dem Lastmoment gleichgerichtetes Moment entsteht.
\[C_{1} = \frac{{c_{\mathit{t1}}} \left( {c_{\mathit{t2}}} {{l}^{2}}-2 l\right) {m_T}}{{c_{\mathit{t1}}} \left( 2 {c_{\mathit{t2}}} l-2\right) +2 {c_{\mathit{t2}}}}\]
Ich kann mir ein solches Ergebnis physikalisch nicht vorstellen und hoffe hier auf Klärung. Leider bekomme ich bei meinem größeren Modell mit 6 Abschnitten auch nur sehr unrealistische Werte. Nehme ich die Randbedingungen falsch an?
Beste Grüße,
Oliver
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opal35
Junior 
Dabei seit: 16.04.2021
Mitteilungen: 6
|  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-10
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Hallo,
mittlerweile konnte ich den Fehler finden. Das innere Torsionsmoment entspricht nicht \(\vartheta^{\prime}(x)\) sondern \( GI \cdot \vartheta^{\prime}(x) \). Die Einheitenkontrolle hat Erleuchtung gebracht.
Die korrekten Randbedingungen lauten:
\[RBI \; \; GI \cdot \vartheta^{\prime}(0) = \vartheta(0)*c_{t1}\]
\[RBII \; \; GI \cdot \vartheta^{\prime}(l) = \vartheta(l)*c_{t2}\]
Beste Grüße,
Oliver
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