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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Differenzierbarkeit
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Universität/Hochschule Differenzierbarkeit
roberto_325
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  Themenstart: 2021-06-10

Hallo, gegeben ist die Funktion f : \(\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) und \( f(x) = \{x^2 cos \frac{1}{x}\) für \(x \neq 0\) und 0 für \(x = 0 \) Gezeigt werden soll, dass f differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar ist. Ich muss doch für die Differenzierbarkeit zeigen, dass der Grenzwert \(\lim_{x \to x_*}\frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*}\) existiert oder?


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, außerhalb von \(x=0\) kannst du ja die Differenzierbarkeit der beteiligten Funktionen verwenden. Die Existenz des Diffentialquotienten muss dann eben wie gesagt noch an der Stelle \(x_*=0\) gezeigt werden. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-10

Hallo, Für die Differenzierbarkeit ist eigentlich nur die Differenzierbarkeit in $0$ interessant. Für $x\neq 0$ ist $f$ ja differenzierbar als Produkt und Verkettung differenzierbarer Funktionen. Für die Differenzierbarkeit in $0$ musst du also zeigen, dass der Grenzwert $$ \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}x $$ existiert. LG Nico [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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roberto_325
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-10

Okay also: \(\lim_{x_*\to 0} \frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*} =\lim_{x_*\to 0}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x_*\to 0}\frac{x^2cos(1/x)}{x} = \lim_{x_*\to 0}xcos(1/x) \) Ich bin mir nicht sicher ob ich es so richtig mache.


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-10

Hallo, doch: bis dahin ist (bis auf die falsche Notation) alles gut. Jetzt noch den Grenzwert berechnen (bedenke dabei die Beschränktheit der Kosinusfunktion). Gruß, Diophant


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Kuestenkind
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-10

Huhu, \quoteon(2021-06-10 17:18 - roberto_325 in Beitrag No. 3) \(\lim_{x_*\to 0} \frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*} =\lim_{x_*\to 0}\frac{f(x)}{x} =[...] \) \quoteoff irgendwie bist du da mit \(x_*\) und \(x\) durcheinander. Der erste Ausdruck ist nicht der Differentialquotient wie du ihn noch im Startbeitrag richtig geschrieben hast. Hinter dem Gleichheitszeichen taucht kein \(x_*\) mehr auf und dennoch willst du den Grenzwert \(x_* \to 0\) bilden - das sollte dir zu denken geben. Gruß, Küstenkind


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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-10

\quoteon(2021-06-10 17:18 - roberto_325 in Beitrag No. 3) \(\lim_{x_*\to 0} \frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*} =\lim_{x_*\to 0}\frac{f(x)}{x}\) \quoteoff Du bist hier mit dem Malen von Sternchen durcheinandergekommen. Die Variable, die gegen 0 geht, sollte dieselbe sein, die im Limes auf der rechten Seite auch tatsächlich auftaucht. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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roberto_325
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-10

Oh ok ich war auch etwas verwirrt bei meiner Notation :) Also für x=0: \(\lim_{x_* \to 0}\frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*} = \lim_{x_* \to 0}\frac{f(x_*)}{x_*} = \lim_{x_* \to 0}\frac{ x_*^2cos(\frac{1}{x_*})}{x_*} = \lim_{x_* \to 0} x_*cos(\frac{1}{x_*}) = 0 \) Damit ist f(x) differenzierbar. Wie zeige ich jetzt, dass f nicht stetig differenzierbar ist? Leite ich die Funktion einfach ab und zeige, dass sie nicht stetig ist?


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zippy
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-10

\quoteon(2021-06-10 19:15 - roberto_325 in Beitrag No. 7) Wie zeige ich jetzt, dass f nicht stetig differenzierbar ist? \quoteoff Du kennst $f'(0)$ und kannst $f'(x)$ für $x\ne0$ durch Anwendung der üblichen Ableitungsregeln ausrechnen. Danach musst du nur noch prüfen, dass $\lim_{x\to0}f'(x)=f'(0)$ nicht gilt.


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, wieso hast du denn die Tipps von Kuestenkind und zippy nicht mit aufgenommen? Es sollte so heißen: \(\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{ x^2cos(\frac{1}{x})}{x} = \lim_{x \to 0} x\cdot cos(\frac{1}{x}) = 0 \) Also \(x\) strebt gegen Null, nicht \(x_*\). \quoteon(2021-06-10 19:15 - roberto_325 in Beitrag No. 7) Wie zeige ich jetzt, dass f nicht stetig differenzierbar ist? Leite ich die Funktion einfach ab und zeige, dass sie nicht stetig ist? \quoteoff Genau. Also: dass die Ableitung nicht stetig ist. Die fragliche Stelle sollte jetzt klar sein. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-10

Huhu, nur nochmal zu Sicherheit: Dort wurde nun schon ein \(x_*\) ersetzt, während die anderen dort noch stehen. \quoteon(2021-06-10 19:19 - Diophant in Beitrag No. 9) \(\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*} \) \quoteoff Um es noch einmal korrekt hinzuschreiben: Der Differentialquotient lautet: \(\displaystyle \lim_{x \to x_*}\frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*} \) Den untersuchen wir nun an der Stelle \(x_*=0\). Damit: \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \) Gruß, Küstenkind


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roberto_325
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-10

Achso, ich dachte man untersucht es bei x = 0. Dann ergibt es natürlich Sinn. Bei der Albleitung habe ich : \(2xcos(\frac{1}{x})+sin(\frac{1}{x})\) Dann davon den limes bilden: \(\lim_{x\to 0 }2xcos(\frac{1}{x})+sin(\frac{1}{x})\) = existiert nicht wegen dem \(sin(\frac{1}{x})\), damit ist es auch nicht = f'(0) und damit nicht stetig differenzierbar. Ist das so korrekt?


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Diophant
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-06-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2021-06-10 19:40 - roberto_325 in Beitrag No. 11) Achso, ich dachte man untersucht es bei x = 0. \quoteoff In der Regel verwendet man solche Bezeichnungen wie \(x_0\), \(x_*\) oder auch \(\xi\) für feste x-Werte. Hier also: \(x_*=0\). \quoteon(2021-06-10 19:40 - roberto_325 in Beitrag No. 11) Bei der Albleitung habe ich : \(2xcos(\frac{1}{x})+sin(\frac{1}{x})\) Dann davon den limes bilden: \(\lim_{x\to 0 }2xcos(\frac{1}{x})+sin(\frac{1}{x})\) = existiert nicht wegen dem \(sin(\frac{1}{x})\), damit ist es auch nicht = f'(0) und damit nicht stetig differenzierbar. Ist das so korrekt? \quoteoff Ja. Jedoch solltest du noch sauber argumentieren, warum der Term an der Stelle \(x_*=0\) nicht stetig ist. Stichwort: links- und rechtsseitiger Grenzwert. Oder so, wie es zippy in Beitrag #8 formuliert hat. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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zippy
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-06-10

\quoteon(2021-06-10 19:45 - Diophant in Beitrag No. 12) Stichwort: links- und rechtsseitiger Grenzwert. \quoteoff Da die beide nicht existieren, ergibt es wenig Sinn, sich mit denen zu beschäftigen. Das Argument, dass $\lim_{x\to0}\sin\frac1x$ nicht existiert, reicht eigentlich aus.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kuestenkind
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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-06-11

Huhu, auch wenn schon abgehakt ist: \quoteon(2021-06-10 19:15 - roberto_325 in Beitrag No. 7) \(\lim_{x_* \to 0}\frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*} = \lim_{x_* \to 0}\frac{f(x_*)}{x_*} = \lim_{x_* \to 0}\frac{ x_*^2cos(\frac{1}{x_*})}{x_*} = \color{red}{\lim_{x_* \to 0} x_*cos(\frac{1}{x_*}) = 0} \) Damit ist f(x) differenzierbar. \quoteoff Ist dir dieser (rote) Grenzwert nun überhaupt klar? Oder anders gefragt: Kannst du das beweisen? Gruß, Küstenkind


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