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Universität/Hochschule Zeige, dass die Abbildungen Bijektionen sind
MarkReucher
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Dabei seit: 19.05.2021
Mitteilungen: 8
  Themenstart: 2021-06-10

Hallo, Ich habe probleme um diese Problem zu lösen, kann jemand hier mir helfen? Es sei R ein Ring, M ein R-Linksmodul und N ⊆ M ein Untermodul. Zeigen Sie, dass die Abbildungen {W ⊆ M ∖ N Untermodul} ⇄ {V ⊆ M Untermodul |N ⊆ V} W ⟼ π⁻¹ (W) V ⟼ V ∖ N= π (V) zueinander inverse, inklusionserhaltende Bijektionen sind


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semasch
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Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 142
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-12

Moin MarkReucher, für den Faktormodul $M/N$ verwendet man typischerweise einen Vorwärtsschrägstrich, $M\setminus N$ bezeichnet typischerweise die mengentheoretische Differenz von $M$ und $N$. Die kanonische Projektion $\pi: M \to M/N, m \mapsto m+N = \{m+n: n \in N\}$ ist ein surjektiver Homomorphismus zwischen den $R$-Links-Moduln $M$ und $M/N$ (In diesem Zusammenhang vielleicht noch eine Anmerkung: Für einen Untermodul $V \supseteq N$ von $M$ ist $\pi(V) = V+N \neq V/N$, da Letzteres der Faktormodul von $V$ nach $N$ ist.). Versuche mithilfe dieser Definition und Eigenschaft von $\pi$ zu folgern, dass die Abbildungen korrekt definiert (soll heißen: die angegebenen Definitionsmengen in die angegebenen Zielmengen abbilden), zueinander invers und inklusionserhaltend sind. Wenn sich da an irgendeiner Stelle konkrete Probleme auftun, kannst du die gerne mitteilen. LG, semasch


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Triceratops
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Mitteilungen: 5688
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-12

Was das generelle Auffinden von Beweisen bei solchen Aufgaben angeht, könnte dir folgender Artikel weiterhelfen: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805 Zur konkreten Aufgabe: Hattet ihr vielleicht schon den entsprechenden Satz für Gruppen? Das kann man dann hier auf die additiven Gruppen anwenden, sodass nur noch zu prüfen ist, dass die jeweiligen Teilmengen tatsächlich unter der Multiplikation mit Elementen von $R$ abgeschlossen und damit $R$-Untermoduln sond.


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