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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenvektor bestimmen mit zwei Parametern im LGS
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Universität/Hochschule Eigenvektor bestimmen mit zwei Parametern im LGS
Spedex
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  Themenstart: 2021-06-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \) Hallo, sei folgende Matrix gegeben: \[\bpm -1 && 1 && 0 \\ 1 && -1 && 0 \\ 0 && 0 && 18 \epm\] Die drei Eigenwerte dieser Matrix sind: \[\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 18, \lambda_3 = -2\] Der Eigenvektor von \( \lambda_1 = 0 \) ist: \[ \bpm 1 \\ 1 \\ 0 \epm \] Der Eigenvektor von \( \lambda_3 = -2 \) ist: \[ \bpm -1 \\ 1 \\ 0 \epm \] Nun würde ich auch gern den Eigenvektor vom Eigenwert \(\lambda_2 = 18\) bestimmen, komme da jedoch nicht auf das "richtige Ergebnis". Meine Matrix schau mit eingesetztem Eigenwert so aus: \[\bpm -19 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 0 \epm \] Nun muss ich also meines Wissens nach zwei Parameter erstellen. Ich erstelle also einmal einen Parameter \(s\) mit \(s=z\) und einmal einen Parameter \(t\) mit \(t=y\). Dadurch ergibt sich: \[-19x+t=0\] \[x=\frac{1}{19} \cdot t\] Dadurch erhalte ich folgenden Eigenvektor: \[ \bpm 0 \\ 1 \\ 1/19 \epm \cdot t + \bpm 0 \\ 0 \\ 1 \epm \cdot s \] Laut Wolfram Mathematica soll allerdings die Lösung folgende sein: \[\bpm 0 \\ 0 \\ 1 \epm\] Also ohne diesem ersten Teil. Nun frage ich mich: Warum? Liebe Grüße Spedex \sourceon Mathematica In[6]:= Eigenvectors[{{-1, 1, 0}, {1, -1, 0}, {0, 0, 18}}] Out[6]= {{0, 0, 1}, {-1, 1, 0}, {1, 1, 0}} \sourceoff \(\endgroup\)


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-10

\quoteon(2021-06-10 23:00 - Spedex im Themenstart) Meine Matrix schau mit eingesetztem Eigenwert so aus: \quoteoff Nein, da hast du dich verrechnet.


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Spedex
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-10

Ups, ja, da hast du Recht. Haben den Fehler gefunden und jetzt komme ich auf den richtigen Eigenvektor. Vielen Dank. Liebe Grüße Spedex


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Spedex
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \) Angenommen es steht noch als Aufgabe zu dieser Matrix dabei: Man gebe die allgemeine Lösung dieses Differentialgleichungssystems an. Meine Antwort wäre folgende: \[\bpm 1 && 0 && -1 \\ 1 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \epm \cdot \bpm 1 \\ e^{18x} \\ e^{-2x} \epm\] \[y_1 = 1-e^{-2x}\] \[y_2 = 1+e^{-2x}\] \[y_3 = e^{18x}\] Ist diese Antwort so richtig? Liebe Grüße Spedex \(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-11

Hallo Spedex, da oben steht die Multiplikation einer 3x3-Matrix mit einem passenden Spaltenvektor. Diese Multiplikation ist korrekt durchgeführt. Ein DGL-System ist nicht angegeben. Selbst wenn die obige Rechnung eine Lösung eines solchen Systems sein sollte: wie sollen wir entscheiden, ob diese Lösung stimmt? ... Das solltest du jedoch ggf. in einem neuen Thread klären. Gruß, Diophant


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Spedex
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \) Hallo, das System wäre folgendes: \[\bpm y_1' \\ y_2' \\ y_3' \epm = \bpm -1 && 1 && 0 \\ 1 && -1 && 0 \\ 0 && 0 && 18 \epm \cdot \bpm y_1 \\ y_2 \\ y_3 \epm\] Daraus ergibt sich: \[y_1'=-y_1+y_2\] \[y_2'=y_1-y_2\] \[y_3' = 18 y_3\] Und meine Lösung war eben die folgende für dieses System: \quoteon(2021-06-10 23:55 - Spedex in Beitrag No. 3) \[y_1 = 1-e^{-2x}\] \[y_2 = 1+e^{-2x}\] \[y_3 = e^{18x}\] \quoteoff Die Frage ist nur, ob das die gesuchte allgemeine Lösung ist... Dass es eine Lösung ist, weiß ich. Liebe Grüße Spedex\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-11

Hallo Spedex, von einer allgemeinen Lösung spricht man eigentlich in dem Zuammenhang, wenn die DGL bzw. das System inhomogen ist. Damit geht es mal los. Denn das oben angegebene System ist homogen. Und so oder so: eine allgemeine Lösung ohne Integrationskonstanten ist doch ein Widerspruch in sich. Sprich: wenn man vorher darüber nachdenkt, stellt sich die Frage nicht. Gruß, Diophant


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-11

\quoteon(2021-06-11 13:50 - Diophant in Beitrag No. 6) von einer allgemeinen Lösung spricht man eigentlich in dem Zuammenhang, wenn die DGL bzw. das System inhomogen ist. Damit geht es mal los. Denn das oben angegeben System ist homogen. \quoteoff Der Begriff allgemeine Lösung hat nichts mit homogen oder nicht homogen zu tun. Er bedeutet, dass die Lösung so viele freie Parameter hat, dass man damit ein beliebiges Anfangswertproblem lösen kann. Die Lösung in Beitrag Nr. 3 hat überhaupt keine freien Parameter, und das sind eindeutig zu wenig. --zippy


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Spedex
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-11

Hm, ok, also brauche ich noch die freien Parameter / Integrationskonstanten. Frage: Wie komme ich nun auf die, wenn ich die Taktik mit der Matrixmultiplikation anwende, so wie ich das gemacht habe? Liebe Grüße Spedex


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-11

Schlage doch erst einmal irgendwo nach, wie man ein solchen System korrekt löst. Der Begriff freie Parameter ist nicht verkehrt, aber letztendlich handelt es sich dabei schlicht und einfach um Integrationskonstanten. Denn (wenig überraschend): Differentialgleichungen und DGL-Systeme werden mittels Integration gelöst. Du kannst einfach nicht erwarten, dass man dir hier anlässlich einer einfachen Frage die gesamte Materie Lineare homogene Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten erklärt. Dafür gibt es Lehrmittel verschiedener Form, anhand derer man das studieren sollte. Wenn du eine geeignete Quelle hast, dann kannst du ja einmal die Vorgehensweise nachschlagen für den Fall, dass die Koeffizientenmatrix paarweise unterschiedliche reelle Eigenwerte besitzt. Gruß, Diophant


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zippy
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-11

Diophant hat völlig Recht, der Griff zu einem Buch ist dringend angeraten. Um zumindest die konkrete Aufgabe hier zu einem Ende zu führen: \quoteon(2021-06-10 23:55 - Spedex in Beitrag No. 3) \[\bpm 1 && 0 && -1 \\ 1 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \epm \cdot \bpm 1 \\ e^{18x} \\ e^{-2x} \epm\]\quoteoff Die Funktionen, die die Komponenten des Vektors bilden, sind die Lösungen der drei DGL $y'=0$, $y'=18y$ und $y'=-2y$. Du hast aber für jede DGL nur eine spezielle Lösung hingeschrieben. Wenn du stattdessen drei allgemeine Lösungen hinschreibst, erhältst du insgesamt eine allgemeine Lösung des DGL-Systems:$$ \begin{pmatrix}1 && 0 && -1 \\ 1 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a \\ b\cdot e^{18x} \\ c\cdot e^{-2x} \end{pmatrix} $$


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \) Ok, vielen Dank. Eine andere Aufgabe führt zu folgendem System: \[\bpm 0 && 1 && 1 \\ 0 && 0 && 0 \\ 1 && 0 && 0\epm \cdot \bpm c_1 \cdot e^{-2x} \\ c_2 \cdot e^{-x} \\ c_3 \cdot e^{-x}\epm\] Bzw. ohne den Integrationskonstanten geschrieben: \[\bpm 0 && 1 && 1 \\ 0 && 0 && 0 \\ 1 && 0 && 0\epm \cdot \bpm e^{-2x} \\ e^{-x} \\ e^{-x}\epm\] Daraus ergeben sich für mich folgende Gleichungen: \[y_1 = c_2 \cdot e^{-x} + c_3 \cdot x \cdot e^{-x}\] \[y_2 = 0\] \[y_3 = c_3 \cdot e^{-x}\] Das Beispiel kommt von einer Altprüfung und der Prüfungsableger hat folgende Antwort hingeschrieben: \[y_1 = e^{-x} + x\cdot e^{-x} + e^{-x}\] \[y_2 = e^{-x}\] \[y_3 = e^{-2x}\] Dafür hat er die maximale Punktzahl bekommen. Bezüglich \(y_1\), hier verstehe ich glaube ich, wie man darauf kommen kann. Aus \(e^{-x} + e^{-x}\) wird \(2\cdot e^{-x}\) und das wird durch mein \(c_2 \cdot e^{-x}\) eh abgedeckt. Und da man zwei mal den gleichen Term aufmultipliziert muss \(y_1\) meiner Meinung nach so aussehen: \[y_1 = c_2\cdot e^{-x} + c_3 \cdot x \cdot e^{-x}\] Das wäre also meine Theorie für \(y_1\). Wie man allerdings auf \(y_2 = e^{-x}\) kommen soll, da wo ich \(y_2 = 0\) habe, weiß ich nun wirklich nicht. Liebe Grüße Spedex\(\endgroup\)


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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-06-12

Hallo Spedex, bitte beachte mal folgendes: Neue Aufgabe: -> neuer Thread (in einem geeigneten Unterforum). Immer die vollständige Aufgabe angeben und zwar am Anfang. So wie hier habe ich persönlich ehrlich gesagt keine Lust, mich mit dieser Frage auseinanderzusetzen. Was du da angibst ist ja kein DGL-System (denn das würde sicherlich keine Integrationskonstanten enthalten, auf der anderen Seite fehlen dazu die unbekannten Funktionen). Also soll das wohl die (allgemeine) Lösung eines homogenen Systems 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten sein. Und da möchte ich erstmal das zugehörige DGL-System sehen, um die Richtigkeit dieser Lösung nachprüfen zu können. Ich verstehe auch ehrlich gesagt so langsam deine Arbeitsweise hier nicht mehr. Was versprichst du dir davon? Gruß, Diophant


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