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Mathematik » Stochastik und Statistik » Testzentren ohne positiven Test
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Kein bestimmter Bereich Testzentren ohne positiven Test
jukos123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-12


Wenn man annimmt, dass aktuell 1 Promille der Bevölkerung so mit Corona infiziert ist, dass ein Test positiv ausfällt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, bei 4000 unabhängigen Testungen keinen einzigen positiven Test zu erhalten, gegeben durch 0,999^4000 = 0,018.

Meine Frage nun: Angenommen, in einem Monat führen 15.000 Testzentren je 4000 Tests unabhängig voneinander durch, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Testzentren mindestens eines ist, welches keinen einzigen positiven Test erhalten hat.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-12


2021-06-12 19:39 - jukos123 im Themenstart schreibt:
Wenn man annimmt, dass aktuell 1 Promille der Bevölkerung so mit Corona infiziert ist, dass ein Test positiv ausfällt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, bei 4000 unabhängigen Testungen keinen einzigen positiven Test zu erhalten, gegeben durch 0,999^4000 = 0,018.

Meine Frage nun: Angenommen, in einem Monat führen 15.000 Testzentren je 4000 Tests unabhängig voneinander durch, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Testzentren mindestens eines ist, welches keinen einzigen positiven Test erhalten hat.

Hallo jukos123 und willkommen zurück auf dem Planeten,

die Anzahl der Zentren ohne positiven Test sollte binomialverteit mit den Parametern n = 15000 und p = 0,018 sein. Hilft das weiter?



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jukos123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-13


Das hatte ich anfangs auch gedacht. Jetzt kommen mir aber Zweifel, denn p = 0,018 ist ja nicht die Wahrscheinlichkeit, bei einer zufälligen Auswahl aus den 15.000 Testzentren eines zu erhalten, welches nur negative Tests hatte, sondern vielmehr die Wahrscheinlichkeit, bei 4000 Tests nur negative Tests zu erhalten.

Binomialverteilung mit p = 0,018 würde ja bedeuten, dass unter den 15.000 Testzentren 15.000 * 0,018 = 270  Testzentren ohne positiven Test sind, aber genau das wissen wir ja nicht und ist auch nicht vorausgesetzt.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-13


2021-06-13 10:19 - jukos123 in Beitrag No. 2 schreibt:
Binomialverteilung mit p = 0,018 würde ja bedeuten, dass unter den 15.000 Testzentren 15.000 * 0,018 = 270  Testzentren ohne positiven Test sind

Nein, das bedeutet, dass der Erwartungswert für die Anzahl von Testzentren ohne positiven Test 270 ist.

--zippy



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jukos123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-13


Wenn ich eine Urne mit 15.000 Kugeln habe, wovon 270 rot sind, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit, eine rote zu ziehen p = 0,018?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-13


2021-06-13 11:26 - jukos123 in Beitrag No. 4 schreibt:
Wenn ich eine Urne mit 15.000 Kugeln habe, wovon 270 rot sind, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit, eine rote zu ziehen p = 0,018?

Richtig! Widerspricht aber nicht der Aussage von zippy.

Um auf deine ursprüngliche Frage zurückzukommen:

Die W'keit, dass von den 15000 Testzentren mindestens eins ohne positiven Test ist, beträgt \(1-(1-0,018)^{15000}\approx1\).




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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-13


2021-06-13 11:26 - jukos123 in Beitrag No. 4 schreibt:
Wenn ich eine Urne mit 15.000 Kugeln habe, wovon 270 rot sind, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit, eine rote zu ziehen p = 0,018?

So ist es. Du hast also ein Ziehen-mit-Zurücklegen-Modell gefunden, das die gleiche Verteilung wie deine Fragestellung hat. Das bedeutet aber nicht, dass du beliebige Eigenschaften dieses Modells auf deine Fragestellung übertragen darfst. Der Schluss, dass genau 270 Testzentren ohne positives Ergebnis sind, ist genauso unzulässig wie die Folgerung, dass alle Testzentren kugelrund sind.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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jukos123
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Ok, ich hatte zunächst Bedenken, für die Erfolgswahrscheinlichkeit p aus der Binomialverteilung den Ansatz p =  0,999^4000 zu machen. Wenn man sich aber vorstellt, dass man ein Testzentrum auswählt und dieses 4000 Tests machen lässt, dann ist eben die Erfolgswahrscheinlichkeit für das Ereignis "Kein positiver Test" das obige p. Und damit ist dann auch die Frage beantwortet, vielen Dank!

Das bedeutet dann, dass die Staatsanwaltschaft den Betreiber eines Testzentrums nicht allein deswegen des Betrugs verdächtigen darf, weil kein einziger von den 4000 Tests dieses Testzentrums positiv war. Der Betreiber kann sich nämlich immer darauf berufen, dass mit Wahrscheinlichkeit fast 1 unter den 15.000 Testzentren mindestens ein Testzentrum ohne positive Tests existiert und dass die StA nicht beweisen kann, dass seines nicht dieses Testzentrum ist.



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2021-06-12 19:39 - jukos123 im Themenstart schreibt:
Wenn man annimmt, dass aktuell 1 Promille der Bevölkerung so mit Corona infiziert ist, dass ein Test positiv ausfällt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, bei 4000 unabhängigen Testungen keinen einzigen positiven Test zu erhalten, gegeben durch 0,999^4000 = 0,018.

Im wahren Leben kommt hinzu, dass die Ereignisse nicht unabhängig voneinander sind. In Testzentren, die sich in sog. Hotspots befinden, wird die W'keit geringer und in anderen Testzentrum dafür größer sein.

Die Anzahl der Zentren ohne positiven Test ist damit nicht mehr binomialverteit. Insgesamt steigt der Anteil der Zentren ohne positive Testergebnisse, und die in #5 berechnete W'keit wird (noch) größer.



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