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Universität/Hochschule J Maximum bestimmen
Strandkorb
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  Themenstart: 2021-06-14

Hallo zusammen Ich habe folgende Aufgabe: Gegeben seien \(x_0=t\) und \(x_1=1\). Bestimmen Sie \(t\in [0,1)\) so dass \(max_{x\in [0,1]}|(x-x_0)(x-x_1)|\) minimal wird. Irgendwie habe ich mal einen Anfang doch weiss nicht wie weiter. Also ich wollte zuerst das x finden so dass der Ausdruck maximal wird. Dafür habe ich \(f(x):=(x-t)(x-1)=x^2+(-t-1)x+t\) definiert und habe es abgeleitet dann erhalte ich \(f'(x)=2x-t-1\stackrel{!}{=}0 \Leftrightarrow x_max=\frac{t+1}{2}\) Also nun weiss ich für welchen x wert der Ausdruck maximal wird, also habe ich nun \(|f(x_{max})|=\frac{(t-1)^2}{4}\) berechnet. Doch nun muss ich das minimieren, daher habe ich auch gedacht ich leite das ab und setze es gleich 0 und dann hätte ich t=1 bekommen, doch in den Lösungen steht da was ganz anderes und ich verstehe nicht wie sie darauf kommen. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54650_Bildschirmfoto_2021-06-14_um_20.30.55.png das wären noch die Lösungen. Vielen Dank für euere Hilfe.


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Kampfpudel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-14

Hier stand Blödsinn


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, ich glaube, du denkst hier viel zu kompliziert. Beachte, dass du den Betrag einer Parabel auf dem Intervall \([0,1]\) auf Extremwerte untersuchen musst. Mache dir ersteinmal klar, was die Betragsklammern mit der Parabel so machen. Dann wird eigentlich schnell klar, was zu tun ist. Deine korrekte Lösung für den Scheitel der eigentlichen Parabel wirst du dabei dennoch benötigen. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)


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Strandkorb
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-14

Hallo Diophant Also die Betragsklammern die machen ja das, dass der Negative teil der Parabel wie ein Buck nach oben gefaltet wird. Aber dann sehe ich nicht ganz ein wie ich das minimieren soll. also kannst du mir da evt. weiterhelfen


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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-14

Der wesentliche Punkt ist, dass das Maximum von $|(x-t)(x-1)|$ für $x\in[0,1]$ für einige Werte von $t$ im Inneren von $[0,1]$ und für andere auf dem Rand angenommen wird. Wenn man den zweiten Fall übersieht, kommt man zu dieser falschen Aussage: \quoteon(2021-06-14 20:46 - Kampfpudel in Beitrag No. 1) und \(\lim\limits_{t \to 1} g(t)=0\). \quoteoff Man sieht ja sofort, dass sich für $t=1$ das Maximum $1$ ergibt.


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, wenn du \(t\) veränderst, passieren zwei Dinge. Der 'Buck' verändert seine Höhe, ebenso aber das Randmaximum an der Stelle \(x=0\). Diese beiden muss man hier IMO vergleichen und \(t\) eben so wählen, dass das Maximum aus beiden minimal wird. Mache dir klar, in welchem Moment das passiert... Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-14

Und wie finde ich diesen Punkt anhand meines Lösungsweges? Habe ich also etwas ausgelassen? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-14

@Diophant Aha heisst das nun ich muss t finden so dass \(g(t)=t\) minimal wird, da ja das Randmaximum definiert ist an \((0,t)\) und daher wird auch die Gleichung die ich erhalten habe gleich t gesetzt und dann abgeleitet?


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2021-06-14 21:05 - Strandkorb in Beitrag No. 7) Aha heisst das nun ich muss t finden so dass \(g(t)=t\) minimal wird, da ja das Randmaximum definiert ist an \((0,t)\) und daher wird auch die Gleichung die ich erhalten habe gleich t gesetzt und dann abgeleitet? \quoteoff Da verstehe ich jetzt ehrlicherweise nur 'Bahnhof'... Dein 'Buck' ist ein inneres Maximum. Das hast du ja richtig ausgerechnet, wenn ich nichts übersehen habe. Nun hat man aber (bis auf den Fall \(t=0\)) auch noch an der Stelle \(x=0\) ein Maximum. Das ist einfach durch \(g(0)\) gegeben. Gesucht ist der Wert von \(t\), so dass das Maximum aus diesen beiden minimal wird. Da muss man sich einfach nur klarmachen, wann das passiert. Das führt dann auf eine quadratische Gleichung, von der sofort klar sein sollte, welche der beiden Lösungen der gesuchte Wert ist. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-14

Sorry hab es ein wenig schwammig aufgeschrieben. Also ich schreib es nochmals schön zusammenfassend auf: Wir haben nun also herausgefunden dass die Funktion ein Inneres Maximum an \(x_{max}=\frac{t+1}{2}\) besitzt und gleichzeitig auch an der stelle \(f(0)=t\). Wir wissen dass \(|(x_{max}-t)(x_{max}-1)|=\frac{(t-1)^2}{4}\) und \(|(-t)(-1)|=t\) nun möchten wir dass diese Beiden Maxima identisch sind und minimiert werden, das heisst \(\frac{(t-1)^2}{4}=t\). Muss ich dann nun diese Gleichung nicht nochmals ableiten und 0 setzen um sie zu minimieren?


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Diophant
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-14

Nein. Die musst du einfach lösen. Denn das Randmaximum wird kleiner, wenn t wächst, dein 'Buck', also das innere Extremum, dagegen größer. Und irgendwo treffen sich beide, das ist der gesuchte Wert für t. Gruß, Diophant


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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-14

Oh ja macht Sinn vielen Dank!!!


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