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Lineare Algebra » Vektorräume » Invariante Unterräume
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Universität/Hochschule J Invariante Unterräume
Max_Br
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  Themenstart: 2021-06-14

Hallo, Kann mir jemand erklären wie man invariante Unterräume bestimmt und vielleicht mal erklären was man darunter versteht. Ich blicke da nicht ganz dahinter.


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Akura
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \) Hey! 👋 Ganz allgemein spricht man von "invarianten Unter-Was-auch-immer", wenn man eine Funktion $f:X\to X$ hat und eine Teilmenge $A\subseteq X$, sodass $f(A) \subseteq A$. (Oder manchmal auch $f(A) = A$; je nach Kontext.) Damit ist $A$ eine $f$-invariante Teilmenge von $X$. Und das läuft dann prinzipiell für alle Strukturen so: Untergruppen, Untervektorräume, topologische Teilräume etc. Solche Teilmengen sind interessant, weil sie stabil sind unter der Anwendung von $f$. Sind sie also durch eine bestimmte Eigenschaft charakterisiert, so gilt diese Eigenschaft auch weiterhin, wenn man $f$ auf Elemente dieser Teilmengen anwendet. Ich nehme an, du interessierst dich konkret für Untervektorräume, die unter einer linearen Abbildung invariant sind, ja? Oder meinst du etwas anderes? Falls ja: Weitere Erklärungen hängen jetzt ein bisschen davon ab, was du über Diagonalisierbarkeit, Eigenwerte, Gruppentheorie etc. weißt. Aber eine konkrete Folgerung ist z.B.: Ist $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum, $T:V\to V$ eine lineare Abbildung und $U\subset V$ ein $T$-invarianter Unterraum, so kann man eine Basis von $U$ zu einer von $V$ ergänzen. Bzgl. dieser Basis ist die Darstellungsmatrix von $T$ dann eine obere Dreiecksmatrix. Aber wie gesagt... Hängt gerade alles von deinem Vorwissen ab. Bzw. auch davon ob du ganz konkrete Fragen hast. Hast du?\(\endgroup\)


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Max_Br
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15

Hallo, Danke schonmal für die Nachricht, hat mir schonmal einen Rahmen gegeben. Im speziellen soll ich jetzt zwei echte f-invariante Unterräume von V bilden. V ist ein \IZ_7 ^7 Vektorraum mit : Standartbasis B und M = D_(B,B) (f) =(3,0,3,4,3,5,1;0,3,0,2,5,4,1;0,0,2,1,6,1,4;0,0,0,2,1,3,5;0,0,0,0,2,0,4;0,0,0,0,0,2,1;0,0,0,0,0,0,2) Wie kann man da jetzt echte f-invariante Unterräume finden?


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ligning
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-15

Denk mal eine Weile drüber nach, was ein eindimensionaler invarianter Unterraum ist.


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Max_Br
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15

Ist der Eigenvektor einer?


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Akura
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-15

\quoteon(2021-06-15 11:15 - Max_Br in Beitrag No. 4) Ist der Eigenvektor einer? \quoteoff Eh, streng genommen falsch, aber richtig gemeint! Eindimensionale invariante Unterräume sind auch immer Eigenräume! Kannnst du das beweisen? Für höher-dimensionale invariante Unterräume gilt das aber nicht mehr unbedingt.


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