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Mathematik » Stochastik und Statistik » Pólya-Urne, Anzahl der Kugeln
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Universität/Hochschule Pólya-Urne, Anzahl der Kugeln
Majazakava
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-15


Hii,

ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:

Ich habe die Pólya-Urne mit einer roten und einer blauen Kugel. Nach jedem Zug, wird die gezogene Kugel und eine weitere Kugel, mit der gleichen Farbe, zurück gelegt.
\(R_n\) und \(B_n\) sind die Anzahlen der roten und blauen Kugeln vor der \(n\)-ten Ziehung. Somit also \((R_1,B_1) \ = \ (1,1)\)

a) Ich soll nun die Gesamtzahl \(R_n+B_n\) für gegebenes \(n\) berechnen, indem ich die Grundmenge \(\Omega\) erweitere zu einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega,\mathcal{A},P)\), der die Anzahl der roten Kugeln im Zeitraum \(\{1,...,N\}\) modelliert. Zudem soll ich die Zufallsvariablen \(R_n\) und \(B_n\) definieren.

Ich hab mir überlegt, \(Z_i\) zu definieren als Farbe der \(i\)-ten gezogenen Kugel mit \(rot=0\) und \(blau=1\). Dann hätte ich nämlich \(R_n= 1 + Z_1 + ...+Z_{n-1}\) und \(B_n= 1 + (1-Z_1)+...+(1-Z_{n-1}) = n+1 - R_n\)

Wäre dann nicht \(R_n+B_n= n+1\)? (Macht ja eigentlich Sinn, da ich nach jedem Zug, genau eine Kugel dazu gebe.)
Die Grundmenge \(\Omega\) soll z.B. so aussehen \(\Omega=\IN^N\) irgenwie, stehe ich hier jedoch auf dem Schlauch.

b) Ich soll zeigen, dass für \(n \in {2,...,N}\) und \(2 \le k \le n-1\)
\[P(R_n=k \vert R_{n-1} = k) = \frac{n-k}{n} \ , \ \ \ P(R_n=k \vert R_{n-1} = k-1) = \frac{k-1}{n}\] gilt.

c) Hier soll ich zeigen, dass \(R_n\) auf \(\{1,...,n\}\) gleichverteilt ist mit \(P(R_n=k)= \frac{1}{n} \ \ \ (n \in \{1,...,N\}, k \in \{1,...,n\})\)

Bei den letzten zwei Aufgaben, bin ich eher überfragt. Ich wollte es erst versuchen, indem ich die bedingte Wahrscheinlichkeit umforme, aber das hat mich leider nicht weiter gebracht.

Ich bin über jeden Ansatz dankbar.

LG Majazakava



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-15


Wenn Du den Ablauf des Zufallsexperiments verstanden hast, ist b) leicht.
Was bedeuten denn diese Bedingten Wahrscheinlichkeiten?
"Mit welcher Wsk. habe ich vor der n-ten Ziehung genau k rote Kugeln, wenn ich vor der n-1-ten Ziehung auch schon k rote Kugeln hatte?" bedeutet ja umformuliert: "Wenn man vor der n-1-ten Ziehung k rote Kugeln hat, mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man dann _in_ der n-1-ten Ziehung eine blaue?"

Mit b) ist c) ein eher einfacher Induktionsbeweis.



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