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| Autor |
 Projektion in R^3 auf einen eindimensionalen UVR |
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dvdlly
Wenig Aktiv 
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 |  Themenstart: 2021-06-17
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Hallo,
Ich lese gerade "Mathematics of Machine Learning" und hänge an einer Stelle fest. Gegeben ist ein eindimensionaler Untervektorraum \(U\) aus dem \(\mathbb{R}^3\), \(U = \langle b \rangle\) für ein \(b \in \mathbb{R}^3\).
Sei nun \(\pi_{U}(x)\) die Projektion auf \(U\). Dann wird behauptet:
Die Projektion habe die Eigenschaft, dass \(\lVert \pi_{U}(x)-x \rVert\) minimiert wird, verglichen mit jeglichem \(\lVert \lambda b - x \rVert\) und daraus soll folgen \(\langle \pi_{U}(x)-x, b \rangle = 0\).
Kann mir jemand erklären warum?
Vielen Dank!
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-17
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Hallo,
Also $\langle \pi_U(x)-x,b\rangle=0$ ist ein Teil der Definition einer Projektion. $\pi_U$ ist ja eine orthogonale Projektion auf die Gerade, die von $b$ aufgespannt wird. Ist $x\in \mathbb R^3$, so lässt sich $x$ Zerlegen in einen Anteil $\pi_U(x)\in U$ und einen Anteil $x'\in U^\perp$.
Daher gilt $x=x'+\pi_U(x)$ und damit $\pi_U(x)-x=-x'\in U^\perp$.
LG Nico
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dvdlly
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-17
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Ah okay dann hab ich das wohl falsch verstanden danke :)
Also \(\pi_{U}(x)\) habe die Eigenschaft \(\langle \pi_{U}(x) - x, b \rangle = 0\), deswegen ist \(\pi_{U}(x) - x\) im orthogonalen Komplement von \(\langle b \rangle\).
Danke nochmal!
Noch was, folgt dann nicht direkt \(\pi_{U}(x) = \pi_{U}( u + v) = u\) wobei \(u + v\) die Zerlegung bezüglich \(U\) und dessen orthogonalem Komplement ist?
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-17
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\quoteon(2021-06-17 19:47 - dvdlly in Beitrag No. 2)
Noch was, folgt dann nicht direkt \(\pi_{U}(x) = \pi_{U}( u + v) = u\) wobei \(u + v\) die Zerlegung bezüglich \(U\) und dessen orthogonalem Komplement ist?
\quoteoff
Also wenn du mit $u$ den Anteil in $U$ meinst dann ja. $v$ ist ja dann in $U^\perp$ und wird daher auf $0$ abgebildet bei der Projektion.
LG Nico
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