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| Autor |
 Zeigen der Optimalitätsbedingung 2. Ordnung |
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Noahhh
Neu 
Dabei seit: 18.06.2021
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2021-06-18
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Guten Tag
Ich sitz seit ner Weile bei folgender Aufgabe fest:
Es sei f : R^n → R zweimal differenzierbar. Beweisen Sie die folgende notwendige Optimalitätsbedingung zweiter Ordnung: Ist x∗ ∈ R^n ein Minimierer von f und ist D^2 f stetig in x∗, so gilt:
D^2 f(x∗)(v, v) ≥ 0
für alle v ∈ R^n.
Wir behandeln gerade das Thema Taylorformel also werde ich diese vermutlich zum Lösen brauchen.
Ich freue mich über jede Hilfe
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 454
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-19
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Moin Noahhh,
für $v = 0$ ist die Ungleichung trivialerweise erfüllt, also kannst du dich auf $v \neq 0$ beschränken.
Die Taylorformel ist für den vorliegenden Fall eines zweimal differenzierbaren $f$ z.B. mit der Lagrangedarstellung des Restglieds
\[f(x^*+h) = f(x^*) + df(x^*)(h) + \frac{1}{2} d^2f(x^*+\theta h)(h,h)\]
mit $h \in \mathbb{R}^n$ für ein (i.A. von $h$ abhängiges) $\theta \in [0,1]$. Da $x^*$ ein lokales Minimum von $f$ ist, gibt es ein $\epsilon > 0$, so dass für alle $h \in \mathbb{R}^n$ mit $\|h\| \le \epsilon$ die Beziehung $f(x^*) \le f(x^*+h)$ gilt. Überlege dir (bzw. erinnere dich), was daraus für $df(x^*)$ folgt. Setze dann $h = \epsilon \frac{v}{\|v\|}$, verwende die Taylorformel von oben und letztlich die Stetigkeit von $x \mapsto d^2f(x)$ an der Stelle $x = x^*$.
LG,
semasch
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4607
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-19
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\quoteon(2021-06-19 01:24 - semasch in Beitrag No. 1)
und letztlich die Stetigkeit von $x \mapsto d^2f(x)$ an der Stelle $x = x^*$.
\quoteoff
Im Startbeitrag wird $f$ war nur als zweimal differenzierbar, nicht als zweimal stetig differenzierbar vorausgesetzt.
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semasch
Senior
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 454
Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-19
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Moin zippy,
\quoteon(2021-06-18 16:51 - Noahhh im Themenstart)
Ich sitz seit ner Weile bei folgender Aufgabe fest:
Es sei f : R^n → R zweimal differenzierbar. Beweisen Sie die folgende notwendige Optimalitätsbedingung zweiter Ordnung: Ist x∗ ∈ R^n ein Minimierer von f und ist D^2 f stetig in x∗, so gilt:
D^2 f(x∗)(v, v) ≥ 0
für alle v ∈ R^n.
\quoteoff
Habs beim ersten Mal auch überlesen, aber die benötigte Voraussetzung, dass $d^2f$ im Punkt $x = x^*$ stetig ist, scheint mir schon gegeben zu sein.🙂
LG,
semasch
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4607
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-19
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\quoteon(2021-06-19 07:56 - semasch in Beitrag No. 3)
Habs beim ersten Mal auch überlesen, aber die benötigte Voraussetzung, dass $d^2f$ im Punkt $x = x^*$ stetig ist, scheint mir schon gegeben zu sein.🙂
\quoteoff
Ja, du hast völlig Recht.
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