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 Dynamisches System (Definition) |
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Felixg
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 03.04.2020
Mitteilungen: 22
 |  Themenstart: 2021-06-18
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Hallo. In der Vorlesung beschäftigen wir uns seit Kurzem mit dynamischen Systemen. Im Skript haben wir eine Definition eines dynamischen Systems. Doch im Internet finde ich Definitionen, die teilweise ganz andere Voraussetzungen haben. Und ich verstehe nicht warum...
Also ich erkenne die Äquivalenz beider Definitionen nicht.
Hier die 2 Definitionen:
Definition I:
Sei $U \subseteq \mathbb{R}^{n}$ offen und für $x \in U$ sei $I(x) \subseteq \mathbb{R}$ ein offenes Intervall in $\mathbb{R}$ mit $0 \in I(x)$. Ferner sei $\Omega = \bigcup\limits_{x \in U} I(x) \times \{ x \} \subseteq \mathbb{R} \times U$ offen in $\mathbb{R}^{n + 1}$.
Dann heißt eine stetig differenzierbare Abbildung $\varphi: \Omega \rightarrow U: (t, x) \mapsto \varphi^{t}(x) $ ein dynamisches System oder ein Fluss auf $U$, wenn:
(1) $\varphi^{0} = id_{U}$
(2) $s \in I(\varphi^{t}(x))$ genau dann, wenn $s + t \in I(x)$ für alle $x \in U, t \in I(x)$
(3) Es gilt $(\varphi^{s}\circ \varphi^{t})(x)= \varphi^{s + t}(x)$ für alle $t, s + t \in I(x)$.
Definition II
Ein dynamisches System auf einem Gebiet $U \subseteq \mathbb{R}^{n}$ ist gegeben durch eine stetig differenzierbare Abbildung $\varphi: \Omega \rightarrow G, (t, x) \mapsto \varphi^{t}(x)$ mit folgenden Eigenschaften:
(1) $\Omega \subseteq \mathbb{R} \times U$ ist ein Gebiet, so dass $\{ 0 \} \times U \subseteq \Omega$ ist und für jedes $x \in U$ die Menge $I(x) := \{ t \in \mathbb{R}\; \vert \; (t, x) \in \Omega \}$ wegzusammenhängend ist.
(2) $\varphi^{0} = id_{U}$
(3) $s \in I(\varphi^{t}(x))$ genau dann, wenn $s + t \in I(x)$ für alle $x \in U, t \in I(x)$
(4) Es gilt $(\varphi^{s}\circ \varphi^{t})(x)= \varphi^{s + t}(x)$ für alle $t, s + t \in I(x)$.
Die Punkte (2), (3), (4) von Definition II sind identisch mit den Punkte (1), (2), (3) von Definition I. Der Punkt (1) von Definition I könnte man noch in die Voraussetzung packen. Also so:
Seien $U \subseteq \mathbb{R}^{n}, \Omega \subseteq \mathbb{R} \times U$ Gebiete, so dass $\{ 0 \} \times U \subseteq \Omega$ ist und für jedes $x \in U$ die Menge $I(x) := \{ t \in \mathbb{R}\; \vert \; (t, x) \in \Omega \}$ wegzusammenhängend ist.
Dann heißt eine stetig differenzierbare Abbildung $\varphi: \Omega \rightarrow U: (t, x) \mapsto \varphi^{t}(x) $ ein dynamisches System oder ein Fluss auf $U$, wenn:
$\vdots$
Scheinbar haben beide Definitionen am Anfang verschiedene Voraussetzungen. Warum sind denn beide zulässig? Oder sind beide Definitionen äquivalent? Falls ja, wie sieht man das?
Grüße, Felix
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
haerter
Senior 
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1735
Wohnort: Bochum
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-21
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Hallo,
vielleicht übersehe ich etwas, aber der Punkt, der das I(x) aus Definition 1 mit (1) aus Definition 2 verknüpft ist doch die Tatsache, dass die wegzusammenhängenden Teilmengen von $\mathbb{R}$ gerade die Intervalle sind.
Daraus ergibt sich dann die Äquivalenz der beiden Definitionen.
Vorstellen sollte man sich $I(x_0)$ als das maximale Zeitintervall, für das der Orbit durch den Punkt $x_0$ existiert (zum Beispiel die Lösung einer Differentialgleichung zum Anfangswert $x(0)=x_0$).
Ich würde ja sagen: Für die allermeisten Sätze und Beispiele kann man zunächst so tun als ob $I(x)=\mathbb{R}$ für alle $x$ wäre und dann überlegen, ob es einen Unterschied macht, wenn $I(x)$ kleiner ist.
Anders ausgedrückt: Die Punkte (1),(2) und (3) aus Definition 1 sind die wichtigen Elemente der Definition eines dynamischen Systems (bzw. eines Flusses), das $I(x)$ ist eher technisches Beiwerk.
Viele Grüße,
haerter
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