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Topologie » Diff.topologie/-geometrie » Unabhängigkeit des Gauß-Bonnet-Satzes von der Parametrisierung
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Universität/Hochschule J Unabhängigkeit des Gauß-Bonnet-Satzes von der Parametrisierung
Cyborg
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Mitteilungen: 457
  Themenstart: 2021-06-19

Hallo, Leute! Es geht um den Beweis des Satzes von Gauß-Bonnet im Differentialgeometrie-Buch von do Carmo: Im Beweis legt man zur Beweisvereinfachung eine orthogonale Parametrisierung zugrunde, woraus die geodätische Krümmung und die Gauß-Krümmung berechnet werden. In Bemerkung auf Seite 206 in der Bemerkung steht, dass in Korollar 1 klar wird, dass die Einschränkung auf eine orthogonale Parametrisierung nicht mehr gebraucht wird. \red\ Frage: Wieso ist gezeigt, dass man keine Abhängigkeit von der orthogonalen Parametrisierung hat, obwohl man lokal eine orthogonale Parametrisierung benutzt??? Die Unabhängigkeit würde ich eher so zeigen: \(\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}\int_{s_i}^{s_{i+1}}k_g(s)\,ds+\iint_R K\,d\sigma+\sum\limits_{i=0}^{k}\theta_i=2\pi\) Für diese Formel wurde im Beweis für \(k_g\) und \(K\) die spezielle orthogonale Parametrisierung zugrundegelegt. Nun ist aber \(\displaystyle\iint_R K\,d\sigma\) von der Parametrisierung unabhängig und die \(\theta_i\) ändern sich auch nicht, weil eine andere Parametrisierung die gleiche Fläche darstellt. \(2\pi\) ist konstant. ALSO kann sich auch nicht ändern: \(\displaystyle\color{blue}{\sum\limits_{i=0}^{k}\int_{s_i}^{s_{i+1}}k_g(s)\,ds}=2\pi-\iint_R K\,d\sigma-\sum\limits_{i=0}^{k}\theta_i\) Danke schonmal.


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Cyborg hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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