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Mechanik » Theoretische Mechanik » Lagrange-Gleichung: Massen an einem Rad
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Universität/Hochschule J Lagrange-Gleichung: Massen an einem Rad
somueso
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Mitteilungen: 6
  Themenstart: 2021-06-19

Guten Abend zusammen! Ich sitze nun schon seit ein paar Stunden an folgender Aufgabe und finde leider so gar keinen Ansatz: Eine Masse m ist am Rand eines Rades mit dem Radius R befestigt. Das Rad ist masselos, bis auf die Masse M, die sich in der Mitte des Rades befindet. Das Rad rollt ohne zu gleiten auf einer horizontalen Unterlage. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54756_Massen_an_Rad.png \ Die Aufgabe ist es nun den Winkel \theta (t) zu benutzen, um die relativen Positionen der beiden Massen zu beschreiben, die Lagrange-Funktion L(\theta,\theta^*,t)=T-V und die Lagrange-Gleichung 2. Art aufzustellen Die relative Position der beiden Massen müsste ja R=const. sein. Aber ich komme nicht darauf, wie ich da den Winkel mit einbringen soll. Zur Lagrange-Funktion stellt sich mir auch die Frage, wie ich die kinetische Energie T berechnen soll. Habe ich für jede Masse jeweils die Translations- und Rotationsenergie? Vielen Grüße und Danke schonmal!


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-20

Moin somueso, \quoteon(2021-06-19 22:38 - somueso im Themenstart) Die relative Position der beiden Massen müsste ja R=const. sein. Aber ich komme nicht darauf, wie ich da den Winkel mit einbringen soll. \quoteoff $R$ ist der relative Abstand der beiden Massen, nicht die relative Position. Erstmal empfiehlt es sich, ein ortsfestes Koordinatensystem einzuführen. Hier würde ich dir ein kartesisches Koordinatensystem empfehlen, bei dem der Ursprung am Ort der Masse $m$ in der Stellung $\theta = 0$ liegt, die $x$-Achse horizontal und die $y$-Achse vertikal verläuft. Bezeichnet $(X,Y)$ bzw. $(x,y)$ dann die Koordinaten der Masse $M$ bzw. $m$, so ist der nächste Schritt, diese Koordinaten durch $\theta$ auszudrücken: \[(X,Y) = (X(\theta),Y(\theta)), (x,y) = (x(\theta),y(\theta)).\] Das machst du am besten so, dass du dir das zunächst für $(X,Y)$ und dann (unter Verwendung von $\cos(\theta)$ und $\sin(\theta)$) für $(x-X,y-Y)$ (das wäre dann die relative Position) und damit auch für $(x,y)$ überlegst. \quoteon(2021-06-19 22:38 - somueso im Themenstart) Zur Lagrange-Funktion stellt sich mir auch die Frage, wie ich die kinetische Energie T berechnen soll. Habe ich für jede Masse jeweils die Translations- und Rotationsenergie? \quoteoff Mit obigem Vorgehen lässt sich dann die kinetische Energie mithilfe der Kettenregel aus der Standardformel für Punktmassen bestimmen: \[T = \frac{M}{2}(\dot{X}^2+\dot{Y}^2) + \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2) = \left(\frac{M}{2}\left(\left(\frac{dX}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dY}{d\theta}\right)^2\right) + \frac{m}{2}\left(\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2\right)\right)\dot{\theta}^2.\] LG, semasch


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somueso
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-20

Guten Abend semasch, vielen Dank für deine schnelle Antowrt, ich konnte mich leider jetzt erst damit beschäftigen. Aber du hast mir sehr weitergeholfen. Da fehlte bei mir wohl nur der nötige Denkanstoß.... Viele Grüße!


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