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Schulmathematik » Analytische Geometrie » Warum wird bei der Volumen-Formel 1/6 statt 1/3 verwendet
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Schule Warum wird bei der Volumen-Formel 1/6 statt 1/3 verwendet
Chinqi
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Dabei seit: 21.02.2021
Mitteilungen: 88
  Themenstart: 2021-06-20

Durch Punkte P1 (2/0/2) P2 (1,5/3/0) P3(1/2/1) wird eine Ebene E bestimmt. O ist der Koordinatenursprung. Die Ebene E schneidet Koordinatenachsen in Punkten A, B & c. Punkte A, B, C und O bilden eine Pyramide. Berechne das Volumen dieser. Meine Koordinatenform: 2x + 3y + 4z = 12 (erweitert) Spurpunkte: Sx (6/0/0) Sy(0/4/0) Sz (0/0/3) Die Formel für das Volumen einer Pyramide ist doch eigentlich: 1/3 * Ag * h Aber im Unterricht haben wir jetzt irgendwie Volumen = 1/6 * Ag * h verwendet, also V = 1/6 * 6 *4 *3 = 12 VE. Warum jetzt 1/6 statt 1/3?


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Wario
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-20

\quoteon(2021-06-20 01:00 - Chinqi im Themenstart) Durch Punkte P1 (2/0/2) P2 (1,5/3/0) P3(1/2/1) wird eine Ebene E bestimmt. O ist der Koordinatenursprung. Die Ebene E schneidet Koordinatenachsen in Punkten A, B & c. Punkte A, B, C und O bilden eine Pyramide. Berechne das Volumen dieser. Meine Koordinatenform: 2x + 3y + 4z = 12 (erweitert) Spurpunkte: Sx (6/0/0) Sy(0/4/0) Sz (0/0/3) Die Formel für das Volumen einer Pyramide ist doch eigentlich: 1/3 * Ag * h Aber im Unterricht haben wir jetzt irgendwie Volumen = 1/6 * Ag * h verwendet, also V = 1/6 * 6 *4 *3 = 12 VE. Warum jetzt 1/6 statt 1/3? \quoteoff Eine mögliche Rechnung ist eigentlich $V_\text{Py} =\frac13 A_\triangle h =\frac13 \left(\frac12 \cdot 4\cdot 3\right) \cdot 6$ Was zu dem angegeben Ausdruck führt.


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo Chinqi, dort wurde das sog. Spatprodukt verwendet. Wie du auf der verlinkten Seite nachlesen kannst, kann man damit das Volumen eines Parallelepipeds, manchmal auch Spat genannt, berechnen. Schneidet man von einem solchen Spat von einem Eckpunkt ausgehend mit einem ebenen Schnitt durch drei dem Ausgangspunkt benachbarte Ecken eine dreiseitige Pyramide ab, so hat diese stets 1/6 des Volumens des Spats. Und genau das wurde hier benutzt: \[V=\frac{1}{6}\cdot\left|\vec{a}\times\vec{b}\cdot\vec{c}\right|\] Die drei verwendeten Vektoren sind in diesem Fall die drei Achsenabschnitte der Ebene. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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helmetzer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-20

Anschaulich gesagt, wird doch auch die Grundfläche halbiert.


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Chinqi
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-20

Warum denn noch mal 1/2?


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-20

Hallo, bitte gib die Formel, die in der Schule verwendet wurde, exakt an. Ansonsten kann man hier viel spekulieren, das bringt aber nichts. Mögliche Erklärungen stehen sowohl in Beitrag #1 als auch in Beitrag #2. Aus deinem Themenstart geht aber nicht eindeutig hervor, mit welcher Logik da vorgegangen wurde. Richtig ist diese Rechnung jedenfalls und meine Vermutung geht nach wie vor in die Richtung, dass dort das Spatprodukt verwendet wurde. Gruß, Diophant


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Wario
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-20

\quoteon(2021-06-20 01:37 - Wario in Beitrag No. 1) \quoteon(2021-06-20 01:00 - Chinqi im Themenstart) Durch Punkte P1 (2/0/2) P2 (1,5/3/0) P3(1/2/1) wird eine Ebene E bestimmt. O ist der Koordinatenursprung. Die Ebene E schneidet Koordinatenachsen in Punkten A, B & c. Punkte A, B, C und O bilden eine Pyramide. Berechne das Volumen dieser. Meine Koordinatenform: 2x + 3y + 4z = 12 (erweitert) Spurpunkte: Sx (6/0/0) Sy(0/4/0) Sz (0/0/3) Die Formel für das Volumen einer Pyramide ist doch eigentlich: 1/3 * Ag * h Aber im Unterricht haben wir jetzt irgendwie Volumen = 1/6 * Ag * h verwendet, also V = 1/6 * 6 *4 *3 = 12 VE. Warum jetzt 1/6 statt 1/3? \quoteoff Eine mögliche Rechnung ist eigentlich $V_\text{Py} =\frac13 A_\triangle h =\frac13 \left(\frac12 \cdot 4\cdot 3\right) \cdot 6$ Was zu dem angegeben Ausdruck führt. \quoteoff Wie wäre es mal mit einer Skizze? $ \begin{tikzpicture}[%scale=1.5, %y={(3.85mm,3.85mm)}, %z={(0,1cm)}, x={(-135:0.7071*3.85mm)}, y={(0:3.85mm)}, z={(90:3.85mm)}, >=latex, font=\footnotesize, ] \pgfmathsetmacro\s{8} \coordinate[label=] (O) at (0,0,0); \coordinate[label={[anchor=south east]:$S_x(6,0,0)$}] (Sx) at (6,0,0); \coordinate[label={[anchor=south west]:$S_y(0,4,0)$}] (Sy) at (0,4,0); \coordinate[label={[anchor=south east]:$S_z(0,0,3)$}] (Sz) at (0,0,3); % Pyramide 1/2 \draw[blue, fill=blue!33] (Sx) -- (Sy) -- (Sz) --cycle; % KoSy \draw[->] (O) -- (1.5*\s,0,0) node[left]{$x$}; \draw[->] (O) -- (0,\s,0) node[below]{$y$}; \draw[->] (O) -- (0,0,\s) node[left]{$z$}; % Pyramide 2/2 \foreach \P in {Sx, Sy, Sz}{ \draw[blue] (O) -- (\P); \fill[blue] (\P) circle(1.25pt); } \end{tikzpicture} $ Als Grundfläche kann eines der rechtwinkligen Dreiecke verwendet werden, das durch zwei Spurpunkte und den Koordinatenursprung gebildet wird. Die Höhe ist dann durch den dritten Spurpunkt bestimmt. Bei jeder möglichen Wahl kommt die angegebene Formel zahlenmäßig raus.


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