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Universität/Hochschule J Freies Elektronengas bei tiefen Temperaturen
Pavel478
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  Themenstart: 2021-06-20

Schönen guten Abend Forum, ich möchte für den Grenzwert von kleinen Temperaturen die Wärmekapazität und Entropie eines Elektronengases berechnen. Nun hab ich in der Literatur folgenden Ausdruck für ein entartetes Fermionen Gas gefunden: \Omega =kb T gs V * ((m kb T)/(2\pi (\hbar)^2 ))^(3/2)*Li_(5/2)(-e^\beta\mue) Das müsst ja erstmal passen, weil Elektronen = Fermionen und für den Grenzwert T gegen Null ist die Temperatur T klein gegen die Fermi-Temperatur. Nun könnte man doch einfach die üblichen Zusammenhänge nutzen: S = kb ln(\Omega) C_v = T*((dS)/(dT))_v Ist bei mir jetzt ein Denkfehler oder ist es wirklich relativ einfach und es geht darum mit der PolyLog Funktion zu arbeiten ? Mit freundlichen Grüßen, Pavel.


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-21

Moin Pavel478, \quoteon(2021-06-20 23:40 - Pavel478 im Themenstart) \Omega =kb T gs V * ((m kb T)/(2\pi (\hbar)^2 ))^(3/2)*Li_(5/2)(-e^\beta\mue) \quoteoff das $\Omega$ in obigem Ausdruck ist das großkanonische Potential eines Gases freier Spin-$S$-Fermionen in $3$ Dimensionen. In der Gleichung \quoteon(2021-06-20 23:40 - Pavel478 im Themenstart) S = kb ln(\Omega) \quoteoff bezeichnet $\Omega$ hingegen die mikrokanonische Zustandssumme. Es handelt sich also um vollkommen unterschiedliche Größen (z.B. hat erstere die Dimension einer Energie, zweitere hingegen ist dimensionslos, was sie als potentielles Argument von $\ln$ natürlich auch sein muss), womit du den von dir gefundenen Ausdruck also nicht einfach einsetzen kannst. Wenn du den Ausdruck verwenden willst, um Entropie und letztlich auch die (isochore) Wärmekapazität auszurechnen, solltest du dir auch noch klar machen, dass es in der Gleichung \quoteon(2021-06-20 23:40 - Pavel478 im Themenstart) C_v = T*((dS)/(dT))_v \quoteoff genauer \[C_V = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V,N}\] heißt. Du musst also die Entropie $S = S(T,V,N)$ erst durch den Variablensatz $(T,V,N)$ ausdrücken. Dazu drückst du am besten zuerst die Entropie mittels \[S = S(T,V,\mu) = -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial T}\right)_{V,\mu}\] durch den Variablensatz $(T,V,\mu)$ aus, dann durch Auflösen der Gleichung \[N = -\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu}\right)_{T,V}\] nach $\mu$ das chemische Potential $\mu = \mu(T,V,N)$ durch den Variablensatz $(T,V,N)$ aus und setzt letztlich gemäß \[S(T,V,N) = S(T,V,\mu(T,V,N))\] ein. Um das analytisch machen zu können, musst du (wie du schon richtig geschrieben hast), ausnutzen, dass $k_{\text{B}} T \ll \mu$ gilt, indem du auf $\Omega$ die Sommerfeldentwicklung anwendest und in weiterer Folge geeignet Terme höherer Ordnung vernachlässigst. LG, semasch


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Pavel478
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21

Erstmal vielen Dank für die Antwort, war wohl gestern ein bisschen spät, anders kann ich mir das kaum erklären wie ich die beiden Dinge verwechseln konnte. Jetzt zu deiner Antwort. Ich hab jetzt natürlich die Sommerfeldentwicklung recherchiert und gesehen, dass es für diesen Fall ja ziemlich die typische Herangehensweise ist. Diese Seite zeigt ja am Ende ja sogar Ergebnisse für Entropie und Wärmekapazität. Nur eine Sache versteht ich jetzt noch nicht so wirklich für meinen Fall. Die Sommerfeldentwicklung ist ja eine Näherung für Integrale über die Fermi-Dirac– Verteilung bei kleinen Temperaturen. Um das zu nutzen bräuchte man ja erstmal ein Integral und irgendwie sehe ich noch nicht woher wir das bekommen. Jetzt direkter gefragt: Wie wenden wir die Entwicklung auf das großkanonische Potential an ? Desweiteren füge ich mal ein Hinweis zu der Aufgabe ein. Dort wird gesagt man sollte die asymptotisch Näherung der Polylog Funktion nutzen: Li_s(-e^\omega)( ~=)_(\omega->\inf) - (\omega^s)/(\Gamma(s+1)) - \pi^2/6 (\omega^(s-2))/(\Gamma(s-1))+ ...


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-21

Die Sommerfeldentwicklung wendet man genau auf den Polylogarithmus an, um die (korrigierte) Aussage des Hinweises (die so nicht ganz stimmt, da im zweiten Term auf der rechten Seite ein Faktor $\frac{1}{s}$ fehlt) zu erhalten. Dazu nutzt man die von hier entnommene Integraldarstellung: \[\text{Li}_s(-e^{\beta\mu}) = -\frac{1}{\Gamma(s+1)} \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{\frac{e^x}{e^{\beta\mu}}+1} dx = \lvert x = \beta\epsilon \rvert = -\frac{\beta^s}{\Gamma(s+1)} \int_0^{\infty} \frac{\epsilon^{s-1}}{e^{\beta(\epsilon-\mu)}+1} d\epsilon.\] Auf das Integral im letzten Ausdruck kannst du nun die Sommerfeldentwicklung anwenden, um die (korrigierte) Aussage aus dem Hinweis zu erhalten. LG, semasch


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