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Universität/Hochschule Likelihood-Quotient; Erwartungswert
schlotti21
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-21


Hallo liebes Forum,

Ich möchte den bedingten Erwartungswert
\[
\mathbb{E}_{0}\big[L ~\vert~ F_{0}(L)\le x\big]
\] darstellen als Funktion von $x$, wobei $L$ der Likelihood-Quotient zweier Dichten $\mathbb{p}_{1}(x)$ und $\mathbb{p}_{0}(x)$ ist. Weiter ist $F_{0}$ die Verteilungsfunktion von $L$ unter dem W'maße $\mathbb{P}_{0}$. Wie gehe ich dabei am besten vor? Kann ich die Definition
\[
\mathbb{E}_{0}\big[L ~\vert~ B\big] = \frac{\mathbb{E}_{0}\big[L \cdot 1_B\big]}{\mathbb{P}_{0}[B]}
\] anweden und den unbedingten Erwartungswert partiell integrieren? Falls ja, dann stört mich, dass $L$ der Quotient der Dichten ist und somit
\[
\mathbb{E}_{0}\big[L \cdot 1_B\big] = \int_B \frac{\mathbb{p}_{1}(x)}{\mathbb{p}_{0}(x)} \mathbb{p}_{0}(x) dx = \int_B d\mathbb{P}_1(x) = \mathbb{P}_1(B)
\] gilt. Könnte man, obwohl $\frac{\mathbb{p}_{1}(x)}{\mathbb{p}_{0}(x)}$ eine Funktion von $x$ ist, den Erwartungswert via "Wert*W'keit" berechnen:
 \[
\mathbb{E}_{0}\big[L \cdot 1_B\big] = \int_B l \mathbb{p}_{0}(l) dl  ?
\] Falls nicht, gibt es einen anderen Trick? Ich glaube es mangelt mir am Verständnis des Likelihood-Quotient und dem Begriff Verteilungsfunktion unter dem W'maße $\mathbb{P}_{0}$. Vielleicht hat jemand einen tollen Tip für ein Buch oder ein Paper. Vielen Dank im Voraus.



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