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  Meromorphe Funktion auf Riemannscher Zahlenkugel mit Bild in C |
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Shurian
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 |  Themenstart: 2021-06-21
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Hallo Leute,
ich komme gerade bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Sei $f: \overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}$ meromorph mit $f(\overline{\mathbb{C}}) \subset \mathbb{C}$. Dann ist $f$ konstant.
Mein Ansatz: $f(\overline{\mathbb{C}}) \subset \mathbb{C}$ bedeutet ja insbesondere, dass $f^{-1}(\{\infty\}) = \emptyset$. Das wiederum bedeutet doch aber, dass $f$ keine Polstellen hat. Bedeutet das nicht schon, dass $f$ bereits auf ganz $\mathbb{C}$ holomorph ist? Falls ja, wie zeigt man denn dann, dass $f$ beschränkt ist, denn dann folgt ja die Konstanz nach Liouville. Kann mir jemand helfen?
Liebe Grüße,
Shurian
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-21
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Beachte, dass $f$ in einer offenen Umgebung $B$ von $\infty$ beschränkt sein muss (Warum?). Weiter ist $f$ stetig und daher auf $\overline{\mathbb C}\setminus B$ ebenfalls beschränkt.
LG Nico
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Shurian
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21
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Beschränktheit in einer Umgebung von $\infty$ bedeutet doch, dass $f(1/z)$ in einer Umgebung von $0$ beschränkt ist. Das ist mir leider nicht so ganz klar.
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-21
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Alternativ könnte man auch sagen, dass man eine stetige Funktion auf dem kompakten Raum $\overline{\mathbb C}$ hat, die nie den Wert $\infty$ annimmt. Also gibt es eine offene Umgebung von $\infty$ (im Zielbereich) in der keine Funktionswerte von $f$ liegen.
LG Nico
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Shurian
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21
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Ok das verstehe ich denke ich ein bisschen besser. Sei $r > 0$ hinreichend klein sodass $B_r(\infty) \cap f(\overline{\mathbb{C}}) = \emptyset$. Dann gilt für alle $f(z) \in f(\overline{\mathbb{C}})$: $|f(z)| \leq \frac{1}{r}$.
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-22
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\quoteon(2021-06-21 19:00 - Shurian in Beitrag No. 4)
Ok das verstehe ich denke ich ein bisschen besser. Sei $r > 0$ hinreichend klein sodass $B_r(\infty) \cap f(\overline{\mathbb{C}}) = \emptyset$. Dann gilt für alle $f(z) \in f(\overline{\mathbb{C}})$: $|f(z)| \leq \frac{1}{r}$.
\quoteoff
Genau. Und jetzt kannst du mit Liouville schließen, dass $f$ konstant ist.
[Wobei natürlich $B_r(\infty)$ nur dann erklärt ist, wenn man eine Metrik auf $\overline{\mathbb C}$ erklärt hat. Da könnte man ja z.B. die chordale Metrik benutzen]
Etwas allgemeiner kann man auf $\overline{\mathbb C}$ ja auch eine Topologie (Alexandroff-Kompaktifizierung) erklären:
$U\subseteq \overline{\mathbb C}$ heißt offen genau dann, wenn $U\cap \mathbb C$ offen ist und falls $\infty \in U$, so gebe es $M>0$ mit $\lbrace z\in \mathbb C \mid |z|>M\rbrace \subseteq U$. Demnach ist eine Menge $U\subseteq \overline{\mathbb C}$ mit $\infty\in U$ genau dann offen, wenn $\overline{\mathbb C}\setminus U$ in $\mathbb C$ kompakt ist.
Wenn wir dann also wissen, dass es eine offene Umgebung $U$ von $\infty$ mit $U\cap f(\overline{\mathbb C})=\emptyset$ gibt, so wissen wir insbesondere, dass es ein $M>0$ mit $\lbrace z\in \mathbb C \mid |z|>M\rbrace\cap f(\overline{\mathbb C})=\emptyset$ gibt.
LG Nico
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Shurian
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22
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Ich denke jetzt mir ist alles klar. Die Alexandrow-Kompaktifizierung hatten wir in der Vorlesung auch kurz angesprochen und die Topologie auf $\overline{\mathbb{C}}$ hatten wir genau so eingeführt wie du es beschriebe hast. Das hätte ich vielleicht noch dazuschreiben sollen.
Vielen Dank für die Antworten :)
LG, Shurian
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