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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit einer Matrix
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Universität/Hochschule J Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit einer Matrix
lisa11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-23


Hallo,

(a)Ich habe die Aufgabe die Eigenwerte, sowie die dazugehörigen geometrischen Vielfachheiten zu bestimmen:

fed-Code einblenden

Für "normale" Matritzen habe ich damit kein Problem, nur bei solchen Matritzen, wo man nicht direkt Werte gegeben hat, hab ich irgendwie meine Probleme.

(b)Des weiteren sollten wir für die Matrix

fed-Code einblenden

bestimmen ob diese diagonalisierbar ist und dann \(S\) und \(D\) bestimmen, mit: \(S^{-1}BS=D\). Hier habe ich das Problem, dass ich durch den Vergleich der geometrischen und algebraischen Vielfachheit zwar bestimmt habe, dass die Matrix diagonalisierbar ist, aber meine berechnete Matrix \(S\) nicht invertierbar ist. Habe ich irgendwo einen Rechenfehler oder doch schon vorher einen Dekfehler?

Ich freue mich über jeden Tipp und jede Hilfe

Gruß Lisa



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-23


Hallo,
zur a) die Schreibweise bedeutet, dass in den Einträgen der Diagonalen und den Einträgen unmittelbar darunter Einsen stehen, also
$\begin{bmatrix} 1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}$.

Du könntest auch sagen, dass $f(e_i)=e_i+e_{i-1}$ für $1<i\leq n$ und $f(e_1)=e_1$ ist.

Edit: Fehler korrigiert



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-23


Hallo,

die Matrix in (a) ist doch durch ihre Einträge gegeben: und zwar mit Hilfe des sog. Kronecker-Deltas. Die Einträge sind also 0 oder 1, wie sie angeordnet sind, kann man sich über die Indizes klarmachen.

Bei der (b) wirst du dich verrechnet haben. Könntest du hier deine Rechnung angeben?


Gruß, Diophant


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Eigenwerte' von Diophant]



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lisa11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23


Hallo,

Zu a) werde ich dann gleich nochmal überlegen.

Zu b)

Ich habe die Eigenwerte \(\lambda_1=3, \lambda_2=1\) und \(\lambda_3=3\) rausbekommen.

fed-Code einblenden



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Noch ein Nachtrag:

@ochen:
2021-06-23 07:24 - ochen in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,
zur a) die Schreibweise bedeutet, dass in den Einträgen der Diagonalen und den Einträgen unmittelbar darunter Einsen stehen...
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Es sollte die Diagonale über der Hauptdiagonalen sein, da dort ja \(i+1=j\) gilt.

Das sind halt so typische Fehler, die einem früh morgens gerne mal passieren... 😉

@lisa11:
Deine Eigenwerte sind korrekt. Bei den Eigenvektoren ist dir aber irgendwo ein Schnitzer unterlaufen. Der Vektor \((1,0,0)^T\) passt, bei den beiden anderen ist dir an einer Stelle ein Vorzeichenfehler unterlaufen.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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lisa11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23


Ah ich glaube ich habe den Fehler gefunden. Beim berechnen des Eigenvektors für\(\lambda_2=1\) habe ich ein Minus vergessen. Es müsste \(v_2=-iv_3\) heißen.

fed-Code einblenden

Stimmt das nun so?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-06-23 11:04 - lisa11 in Beitrag No. 5 schreibt:
Ah ich glaube ich habe den Fehler gefunden. Beim berechnen des Eigenvektors für\(\lambda_2=1\) habe ich ein Minus vergessen. Es müsste \(v_2=-iv_3\) heißen.

fed-Code einblenden

Stimmt das nun so?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Jep, jetzt passt es. 👍


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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lisa11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23


Zu a) nochmal:

Da die Matrix A ja bereits eine Dreiecksmatrix ist, ist die Determinante einfach das Produnkt der DIagonaleinträge.

Es folgt also: \(P_A = det(A)=(1-\lambda)^n=0 \Rightarrow \lambda=1\)
Die algebraische Vielfachheit ist dabei n.

Nun muss man noch den Eigenvektor berechnen, für die geometrische Vielfachheit.

fed-Code einblenden

Die geometrische Vielfachheit ist also 1 und da sie ungleich der alebraischen Vielfachheit ist, ist somit A auch nicht diagonalisierbar.

Stimmt das so?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-23


Hallo,

ja, passt alles. 👍


Gruß, Diophant



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lisa11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23


Super, danke für die Hilfe😄



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