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Analysis » Funktionen » Bijektivität einer mehrdimensionalen Funktion zeigen
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Universität/Hochschule Bijektivität einer mehrdimensionalen Funktion zeigen
oli_1993
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-23


Hallo,

ich versuche mich gerade daran die Bijektivität der Funktion:

fed-Code einblenden

zu zeigen. Ich habe mit der Injektivität begonnen und kam folglich auf:

fed-Code einblenden

Irgendwie komme ich von hier gerade nicht weiter. Was wären jetzt die nächsten Schritte?

Mit freundlichen Grüßen
Oli



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-23


Hallo oli_1993 und willkommen auf dem Matheplaneten!

Von wo nach wo soll die Funktion denn abbilden? f(0,0) ist ja bspw. gar nicht definiert.



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oli_1993
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23


Oh das hatte ich vergessen hinzuschreiben. Von \(\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}\rightarrow f(\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\})\). Ich hoffe, das ist so verständlich.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-23


2021-06-23 17:35 - oli_1993 in Beitrag No. 2 schreibt:
Oh das hatte ich vergessen hinzuschreiben. Von \(\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}\rightarrow f(\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\})\). Ich hoffe, das ist so verständlich.

Schreibe es besser so: \(f:\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}\)

Tipp: Rechne mal f(f(x,y)) aus.



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oli_1993
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23


Jup danke, das merke ich mir.

So und wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste folgendes gelten:

\(f(f(x,y))=(x,y)\)

Also ist \(f\) gleichzeitig auch seine eigene Umkehrfunktion? So drückt man das bestimmt nicht mathematisch aus, aber stimmt das so inhaltlich?

Und da die Umkehrfunktion immer auch bijektiv ist, folgt somit dann auch direkt die Bijektivität von \(f\) oder?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-23


2021-06-23 19:14 - oli_1993 in Beitrag No. 4 schreibt:
1) Also ist \(f\) gleichzeitig auch seine eigene Umkehrfunktion? So drückt man das bestimmt nicht mathematisch aus, aber stimmt das so inhaltlich?

2) Und da die Umkehrfunktion immer auch bijektiv ist, folgt somit dann auch direkt die Bijektivität von \(f\) oder?

1) Doch, das kann man durchaus so sagen.

2) Ich würde es so sagen: Da die Umkehrfunktion existiert, ist die Funktion bijektiv.

Sicherlich kann man auch irgendwie aus deinen beiden Gleichungen im Themenstart herleiten, dass \(x_1=x_2\) und \(y_1=y_2\) ist. Aber dabei habe ich mich auch verfranzt 🙃



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oli_1993
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23


Super, danke vielmals für die schnelle Hilfe



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Man kann es auch so sagen: Im Kindergarten lernt man ja, dass Funktionen $f\colon A \to B$ spezielle Relationen "sind", also Teilmengen $f \subseteq A \times B$. Nämlich solche mit den Eigenschaften
1. "Funktionalität": $\forall x \in A.\, \forall y, y' \in B.\, (x,y) \in f \land (x,y') \implies y = y'$,
2. "Totalität": $\forall x \in A.\, \exists y\in B.\, (x,y) \in f$.

Nun kann man jede Relation $R \subseteq A \times B$ einfach umdrehen: $R^\text{op} \subseteq B \times A; (y,x) \in R^\text{op} :\Leftrightarrow (x,y) \in R$.

Und daraus folgt: eine Funktion $f\colon A \to B$ ist bijektiv, gdw. $f^\text{op}$ eine Funktion ist.
\(\endgroup\)


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