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Funktionentheorie » Holomorphie » Wie "sieht" man sofort, dass eine Funktion holomorph ist?
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Universität/Hochschule J Wie "sieht" man sofort, dass eine Funktion holomorph ist?
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  Themenstart: 2021-06-23

Hey, ich gehe gerade alte Übungsblätter durch und bin auf eine Aufgabe gestoßen, in der wir Wegintegrale berechnen sollten. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54540_Bildschirmfoto_2021-06-23_um_19.02.46.png Ich habe die Lösungen mitgeschrieben, aber eine Sache ist mir nicht klar: Wie kann ich sofort sehen, dass eine Funktion holomorph ist oder nicht? Mein Professor hat bei dem Integral oben rechts mit dem Cauchyschen-Integralsatz argumentiert, dass das Integral 0 sein muss, dabei aber nicht bewiesen, dass die Funktion dazu holomorph ist. Bei den anderen Integralen hat er anscheinen gar nicht nachweisen müssen, dass die Funktion hier nicht holomorph sein kann.🤔 Ich hatte in meiner Abgabe dazu "schwere Geschütze" ausgefahren und beispielsweise die Cauchy-Riemannschen-DGL oder die konkrete Definition von holomorph verwendet.... Es tut mir leid, falls ich mich sehr dumm anstelle und man es sofort sieht, ob die Funktionen holomorph sind oder nicht, aber ich sehe es nicht. Aber ich möchte es auch gerne sehen können😄 Viele Grüße happy_hippo


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-23

Naja die Funktion oben rechts ist ja einfach $z\mapsto \sin(z)^4$. Das ist eine Komposition holomorpher Funktionen und daher holomorph. Man hat hier (fast mit dem selben Beweis) die gleichen typischen Sätze wie in der reellen Theorie. Summen holomorpher Funktionen, skalare Vielfache holomorpher Funktionen, Quotienten holomorpher Funktionen (solange der Nenner keine Nullstellen hat), Produkte holomorpher Funktionen und Verkettungen holomorpher Funktionen sind allesamt wieder holomorph. Um auf die anderen Integrale einzugehen erinnere dich nochmal an die Integralformel von Cauchy: $\textbf{Satz.}$ Sei $G\subseteq \mathbb C$ ein Gebiet, $f\colon G\to \mathbb C$ holomorph, $a\in G$ und $r>0$ derart, dass $\overline{B_r(a)}\subseteq G$ gilt. Dann gilt für alle $z\in B_r(a)$ $$ f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm i} \int_{\partial B_r(a)} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} \ \mathrm d \zeta. $$ Zum Beispiel erhalten wir damit bei der (d): $$ \int_{\partial B_1(\mathrm i)} \frac{2}{2\zeta-\mathrm i} \ \mathrm d\zeta=\int_{\partial B_1(\mathrm i)} \frac{1}{\zeta-\frac{\mathrm i}{2}} \ \mathrm d\zeta=2\pi \mathrm i, $$ da die Konstante Abbildung $f\equiv 1$ natürlich holomorph auf ganz $\mathbb C$ ist. (Ich habe hier die andere Orientierung mal "übersehen"). LG Nico


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Hey😃 vielen Dank für deine Antwort, nzimme10! D.h. immer wenn eine Funktion nicht mehr eine klassische Verkettung sondern ein etwas "umständlicher" Ausdruck wie in den restlichen Aufgaben ist?


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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-23

\quoteon(2021-06-23 19:37 - happy_hippo in Beitrag No. 2) Hey😃 vielen Dank für deine Antwort, nzimme10! D.h. immer wenn eine Funktion nicht mehr eine klassische Verkettung sondern ein etwas "umständlicher" Ausdruck wie in den restlichen Aufgaben ist? \quoteoff Das verstehe ich nicht ganz. Ich habe meinen Beitrag nochmal erweitert. 🙂 LG Nico


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Hey nzimme10, vielen Dank, dass du dir nochmal die Mühe gemacht hast gut zu antworten😄 Mit der Integralformel ist es mir nun klarer geworden. Vielen Dank nochmal!


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-23

\quoteon(2021-06-23 19:52 - happy_hippo in Beitrag No. 4) Hey nzimme10, vielen Dank, dass du dir nochmal die Mühe gemacht hast gut zu antworten😄 Mit der Integralformel ist es mir nun klarer geworden. Vielen Dank nochmal! \quoteoff Oftmals hilft bei rationalen Funktionen, wenn man eine Partialbruchzerlegung macht und auf die einzelnen Terme der Zerlegung dann jeweils die Cauchy-Integralformel anwendet. Der Residuensatz ist in vielen Situationen auch ein gutes Hilfsmittel. LG Nico


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Okay, vielen Dank nochmal, dass werde ich definitiv im Hinterkopf behalten😄


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-24

\quoteon(2021-06-23 20:23 - happy_hippo in Beitrag No. 6) Okay, vielen Dank nochmal, dass werde ich definitiv im Hinterkopf behalten😄 \quoteoff Wenn du sonst noch Fragen hast, dann schreib einfach nochmal. Erinnere dich eventuell auch noch an die Verallgemeinerung der Integralformel für die Ableitungen einer holomorphen Funktion. Zum Beispiel bei (a) hilft die dir weiter. LG Nico


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