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| Autor |
 Beweis einer Nullstellenschranke mit Gershgorin-Kreisen |
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mosef95
Junior 
Dabei seit: 01.06.2021
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2021-06-27
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Hallo ihr Lieben,
ich versuche einen Beweis für eine Nullstellenschranke für Polynome nachzuvollziehen, der in https://www.jstor.org/stable/2313703?origin=crossref grob skizziert wird.
Der Beweis nutzt den Satz von Gershgorin, der besagt, dass die Eigenwerte einer komplexen $n \times n$ Matrix $A$ alle in der Vereinigigung der Kreise
$$ |z - a_{ii}| \leq R_i$$
bzw.
$$ |z| \leq |a_{ii}| + R_i\tag{1}$$
liegen, wobei $a_{ii}$ die Diagonalelemente von $A$ und $R_i$ die Summen der Beträge der Elemente von $A$ sind, die in der jeweiligen Reihe abseits der Hauptdiagonalen liegen. Der Satz kann auch auf die Spalten der Matrix angewendet werden.
Der Satz, dessen Beweis ich nicht verstehe, ist der folgende:
Die Nullstellen eines komplexen Polynoms $f(z) = a_n z^n + \cdots + a_0$ liegen alle in dem Kreis
$$
\tag{2}
\left| z + \frac{a_{n-1}}{2a_n}\right| \leq \left|\frac{a_{n-1}}{2a_n}\right| + \left|\frac{a_{n-2}}{a_n}\right|^{\frac{1}{2}} + \left|\frac{a_{n-3}}{a_n}\right|^{\frac{1}{3}} + \cdots + \left|\frac{a_0}{a_n}\right|^{\frac{1}{n}}.
$$
Der erste Schritt des Beweises ist, die Begleitmatrix $C(f)$ aufzustellen (die Eigenwerte dieser Matrix sind die Nullstellen von $f$) sowie die Matrix $P=\text{diag}(\rho^{n-1},\rho^{n-2},\cdots,\rho,1)$ zu bilden.
Anschließend wird
$$
B = PCP^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & -\frac{a_0}{a_n \rho^{n-1}} \\
\rho & 0 & \cdots & 0 & -\frac{a_1}{a_n \rho^{n-2}} \\
\vdots & \rho & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 & -\frac{a_{n-2}}{a_n \rho} \\
0 & 0 & \cdots & \rho & -\frac{a_{n-1}}{a_n}\\
\end{pmatrix}
$$
geformt. Da es sich hierbei um eine Ähnlichkeitsabbildung handelt, hat $B$ die gleichen Eigenwerte wie $C$, die die Nullstellen von $f$ sind.
Nun wird
$$\rho = \max\left(\left|\frac{a_{n-j}}{a_n}\right|^{\frac{1}{j}}\right), \quad j=2,\cdots,n
$$
gesetzt und der Satz von Gershgorin auf $B$ angewendet.
Nach dem Paper soll hieraus direkt folgen, dass die Kreise aus (1) alle in dem Kreis (2) liegen. Diese Schlussfolgerung kann ich nicht nachvollziehen und es ist mir bisher nicht gelungen, die fehlenden Schritte zu ergänzen.
Ich bin euch sehr dankbar für jegliche Hinweise oder vollständige Erklärungen!🙂
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semasch
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-27
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Moin mosef95,
so wie du die Objekte definiert bzw. angegeben hast, müsste es wohl $B = P^{-1}CP$ heißen.
Um die Aussage
\quoteon(2021-06-27 11:46 - mosef95 im Themenstart)
Die Nullstellen eines komplexen Polynoms $f(z) = a_n z^n + \cdots + a_0$ liegen alle in dem Kreis
$$
\tag{2}
\left| z + \frac{a_{n-1}}{2a_n}\right| \leq \left|\frac{a_{n-1}}{2a_n}\right| + \left|\frac{a_{n-2}}{a_n}\right|^{\frac{1}{2}} + \left|\frac{a_{n-3}}{a_n}\right|^{\frac{1}{3}} + \cdots + \left|\frac{a_0}{a_n}\right|^{\frac{1}{n}}.
$$
\quoteoff
zu erhalten, wende den Satz von Gershgorin auf die letzte Spalte von $B$ an und verwende, dass
\[\left|z+\frac{a_{n-1}}{a_n}\right| = \left|\left(z+\frac{a_{n-1}}{2a_n}\right) - \left(-\frac{a_{n-1}}{2a_n}\right)\right| \ge \left|\left|z+\frac{a_{n-1}}{2a_n}\right| - \left|\frac{a_{n-1}}{2a_n}\right|\right| \ge \left|z+\frac{a_{n-1}}{2a_n}\right| - \left|\frac{a_{n-1}}{2a_n}\right|\]
gilt.
LG,
semasch
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semasch
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Dabei seit: 28.05.2021
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| Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-28
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Moin nochmal,
als kleiner Edit zu Beitrag #1 bzw. Korrektur des dortigen Wordings:
\quoteon(2021-06-27 19:18 - semasch in Beitrag No. 1)
zu erhalten, wende den Satz von Gershgorin auf die letzte Spalte von $B$ an und verwende, dass
\[\left|z+\frac{a_{n-1}}{a_n}\right| = \left|\left(z+\frac{a_{n-1}}{2a_n}\right) - \left(-\frac{a_{n-1}}{2a_n}\right)\right| \ge \left|\left|z+\frac{a_{n-1}}{2a_n}\right| - \left|\frac{a_{n-1}}{2a_n}\right|\right| \ge \left|z+\frac{a_{n-1}}{2a_n}\right| - \left|\frac{a_{n-1}}{2a_n}\right|\]
gilt.
\quoteoff
Man muss den Satz von Gershgorin natürlich auf sämtliche Spalten von $B$ anwenden, nicht nur die letzte.
LG,
semasch
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mosef95
Junior 
Dabei seit: 01.06.2021
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-28
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Moin semasch, vielen Dank für deine Antwort!
Ich stehe hier leider gerade mal wieder etwas auf dem Schlauch...
Wenn ich den Satz von Gershgorin auf die Spalten anwende, erhalte ich
$$ |z| \leq \rho$$
und
$$
\left| z + \frac{a_{n-1}}{a_n}\right| \leq \left|\frac{a_0}{a_n\rho^{n-1}}\right| + \left|\frac{a_1}{a_n\rho^{n-2}}\right| + \cdots
+ \left|\frac{a_{n-2}}{a_n\rho}\right|,
$$
aber wie werde ich das $\rho^{n-i}$ im Nenner los, bzw. komme ich von diesem Ausdruck zu der gewünschten Summe der $i$-ten Wurzeln aus $\left|\frac{a_{n-i}}{a_n}\right|$?
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semasch
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-28
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Verwende, dass für $i \in \{2, \ldots, n\}$ gilt:
\[\left|\frac{a_{n-i}}{a_n \rho^{i-1}}\right| = \frac{\left|\frac{a_{n-i}}{a_n}\right|}{\rho^{i-1}} \le \frac{\left|\frac{a_{n-i}}{a_n}\right|}{\left|\frac{a_{n-i}}{a_n}\right|^{\frac{i-1}{i}}} = \left|\frac{a_{n-i}}{a_n}\right|^{\frac{1}{i}}.\]
LG,
semasch
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mosef95
Junior
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-28
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Moin semasch, du bist ein Genie! Vielen, vielen Dank für deine Hilfe 🤗
Lg Mo
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
semasch
Senior
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-28
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So weit würde ich jetzt nicht gehen, aber freut mich, dass wir dein Problem lösen konnten.🙂
LG,
semasch
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