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 Banach-Tarski-Paradoxon |
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Scherfus
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 |  Themenstart: 2021-06-27
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[Dieser Thread wurde abgespalten von [diesem Thread] von StrgAltEntf]
Hallo,
ich habe mich nicht tiefgreifend mit Mathematik beschäftigt, aber ich habe eine Frage zum Banach-Tarski Paradox. Für mich schaut das aus wie die Zellteilung. Dort wird ja auch praktisch aus einer Kugel unendlich viele Kugeln gemacht. Irre ich mich da?
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schlauuu
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-27
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\quoteon(2021-06-27 20:03 - Scherfus in Beitrag No. 2)
Hallo,
ich habe mich nicht tiefgreifend mit Mathematik beschäftigt, aber ich habe eine Frage zum Banach-Tarski Paradox. Für mich schaut das aus wie die Zellteilung. Dort wird ja auch praktisch aus einer Kugel unendlich viele Kugeln gemacht. Irre ich mich da?
\quoteoff
Kurz um https://de.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarski-Paradoxon#Erkl%C3%A4rung macht einen guten Job die Hauptaussage ist, dass es Mengen gibt denen man kein Maß zuordnen kann würde man dies doch versuchen so erhält man diese paradoxen Konstruktionen.
Ein anderes Beispiel ist die Vitali Menge https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Vitali_(Ma%C3%9Ftheorie)
In der Maßtheorie werden daher nur Mengen betrachtet denen man guten Gewissens ein Maß zuorden kann und diese werden Borel-Mengen genannt.
Eine Analogie zur Zellteilung kann ich hier nicht sehen.
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nzimme10
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-27
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\quoteon(2021-06-27 20:28 - schlauuu in Beitrag No. 1)
In der Maßtheorie werden daher nur Mengen betrachtet denen man guten Gewissens ein Maß zuorden kann und diese werden Borel-Mengen genannt.
\quoteoff
Das würde ich so nicht unterschreiben. Man kann wesentlich mehr Mengen als nur den Borel-Mengen auf sinnvolle Art und Weise ein Maß zuordnen. Konkret habe ich da die $\sigma$-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen im Kopf.
Warum bei der Zellteilung aus einer Kugel unendlich viele Kugeln gemacht werden sollen habe ich aber noch nicht verstanden.
LG Nico
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Scherfus
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-28
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https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54783_zellteilung-2835910.jpg
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54783_1423255183.jpg
Ich finde diese beiden Bilder einfach zu ähnlich. Jedes mal wenn ich das lese muss ich daran denken. Bei der Zellteilung werden ja auch vereinfacht gesagt ohne Ende neue Kugeln gemacht.
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Slash
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-28
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Nur verhält es sich bei einer Zelle so, dass erst genügend Material eingeschleust wird, bis ausreichend für eine zweite Zelle vorhanden ist.
Beim Banach-Tarski-Paradoxon kommt ja kein neues Material hinzu.
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-28
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\quoteon(2021-06-28 22:08 - Scherfus in Beitrag No. 3)
Ich finde diese beiden Bilder einfach zu ähnlich. Jedes mal wenn ich das lese muss ich daran denken. Bei der Zellteilung werden ja auch vereinfacht gesagt ohne Ende neue Kugeln gemacht.
\quoteoff
Das wäre dann aber auch bereits alles, was das "miteinander zu tun" hat: Die Bilder sehen ähnlich aus.
Der Prozess, der bei Banach-Tarski beschrieben wird ist schon etwas komplizierter, als er auf dem Bild dargestellt ist.
LG Nico
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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nzimme10
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-29
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\quoteon(2021-06-28 22:41 - Slash in Beitrag No. 4)
Beim Banach-Tarski-Paradoxon kommt ja kein neues Material hinzu.
\quoteoff
Ist nicht genau das aber die Essenz der Aussage? Die Grundidee ist ja gerade, dass man durch geschickte Drehungen / Bewegungen Punkte eliminieren bzw. dazugewinnen kann.
Zum Beispiel sind ja $S^1$ und $S^1\setminus\lbrace (1,0)\rbrace$ zerlegungskongruent und eine Idee das zu beweisen ist eben eine geschickte Drehung anzuwenden, die dafür sorgt, dass der Punkt $(1,0)$ "eliminiert" wird.
LG Nico
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Slash
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-29
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\quoteon(2021-06-29 01:54 - nzimme10 in Beitrag No. 6)
\quoteon(2021-06-28 22:41 - Slash in Beitrag No. 4)
Beim Banach-Tarski-Paradoxon kommt ja kein neues Material hinzu.
\quoteoff
Ist nicht genau das aber die Essenz der Aussage? Die Grundidee ist ja gerade, dass man durch geschickte Drehungen / Bewegungen Punkte eliminieren bzw. dazugewinnen kann.
Zum Beispiel sind ja $S^1$ und $S^1\setminus\lbrace (1,0)\rbrace$ zerlegungskongruent und eine Idee das zu beweisen ist eben eine geschickte Drehung anzuwenden, die dafür sorgt, dass der Punkt $(1,0)$ "eliminiert" wird.
LG Nico
\quoteoff
Ich habe mich nie eingehend damit beschäftigt, habe es aber immer so verstanden, dass der "Verdopplungs-Trick" mit der Aufspaltung der Menge der ganzen Zahlen in zwei gleichmächtige Mengen der geraden und ungerade Zahlen gleichzusetzen ist, ...also ganz grob von der Idee her.
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nzimme10
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-29
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\quoteon(2021-06-29 15:01 - Slash in Beitrag No. 7)
\quoteon(2021-06-29 01:54 - nzimme10 in Beitrag No. 6)
\quoteon(2021-06-28 22:41 - Slash in Beitrag No. 4)
Beim Banach-Tarski-Paradoxon kommt ja kein neues Material hinzu.
\quoteoff
Ist nicht genau das aber die Essenz der Aussage? Die Grundidee ist ja gerade, dass man durch geschickte Drehungen / Bewegungen Punkte eliminieren bzw. dazugewinnen kann.
Zum Beispiel sind ja $S^1$ und $S^1\setminus\lbrace (1,0)\rbrace$ zerlegungskongruent und eine Idee das zu beweisen ist eben eine geschickte Drehung anzuwenden, die dafür sorgt, dass der Punkt $(1,0)$ "eliminiert" wird.
LG Nico
\quoteoff
Ich habe mich nie eingehend damit beschäftigt, habe es aber immer so verstanden, dass der "Verdopplungs-Trick" mit der Aufspaltung der Menge der ganzen Zahlen in zwei gleichmächtige Mengen der geraden und ungerade Zahlen gleichzusetzen ist, ...also ganz grob von der Idee her.
\quoteoff
Ganz essentiell bei Banach-Tarski sind gerade die Drehungen. Ohne Drehungen würde das ganze nicht funktionieren. Wie man am Beispiel der $S^1$ sieht, kann man durch geschickte Drehungen Punkte "aus dem Nichts" erzeugen. Natürlich ist das nur eine Beobachtung, aber sicherlich keine unwichtige. Weiter spielt ja auch das Auswahlaxiom beim Beweis von Banach-Tarski eine entscheidende Rolle.
LG Nico
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Slash
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-29
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