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Universität/Hochschule J Anwendung des Transformationssatzes
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  Themenstart: 2021-06-28

Hallo Zusammen Wir haben hier folgende Aufgabe Berechnen Sie das Integral \(\int_A \frac{log(r\cdot cos(\theta)+ r\cdot sin(\theta))}{cos(\theta)} d(r,\theta)\) mit \(A=\{(r,\theta)\in \mathbb{R}^2 | 0\leq \theta \leq \frac{\pi}{4}, \,\,1\leq r\cdot cos(\theta) \leq 2\}\) Mir ist bewusst, dass man den Transformationssatz anwenden sollte, aber bei uns sind sie ziemlich genau was die Notation angeht also mit diesem \(C^1\)-Diffeomorphismus und dem Ganzen. Irgendwie habe ich da manchmal noch ein wenig ein Durcheinander bezüglich der Notation da ich machmal vergesse wo nun dieser Diffeomorphismus gerade hingeht ect. Nun habe ich aber das Gefühl einen Weg gefunden zu haben, der mir passt, bin mir aber nicht ganz sicher ob das so formal korrekt ist. Daher wollte ich fragen ob sich das jemand anschauen könnte, denn wenn das so stimmt dann bin ich auf dem richtigen Weg. Ps: Ich habe die Berechnung des Integrals hier nicht hinzugefügt, da ich dies selber überprüfen kann ob das stimmt. Mir ist es wichtiger dass ich hier einen formal machbaren Weg habe und nicht kompletten Unsinn da hingeschriben habe. Vielen Dank für eure Hilfe. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54650_CamScanner_06-27-2021_23.56_1.jpg


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-28

Hallo, je nachdem wie der Transformationssatz formuliert wurde, solltest du noch darauf achten, dass du mit offenen Mengen arbeitest wenn es um Diffeomorphismen geht. LG Nico


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-28

Hallo Nico Ah ja da hast du recht, aber das bedeutet ja nur dass ich meine Funktion \(\Phi\) noch im Definitions- und Wertebereich anpassen muss. Aber sonst passt das so, vor allem auch das mit der Determinante der Jacobimatrix, denn da war ich mir am unsichersten, oder gibt es noch was, das nicht stimmt?


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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-28

\quoteon(2021-06-28 08:10 - Strandkorb in Beitrag No. 2) Hallo Nico Ah ja da hast du recht, aber das bedeutet ja nur dass ich meine Funktion \(\Phi\) noch im Definitions- und Wertebereich anpassen muss. Aber sonst passt das so, vor allem auch das mit der Determinante der Jacobimatrix, denn da war ich mir am unsichersten, oder gibt es noch was, das nicht stimmt? \quoteoff Ich finde es wird aus deinem Aufschrieb nicht wirklich klar, warum $\Phi(\Omega)=A$ gilt (bzw. eben für die angepassten offenen Mengen). Wo genau bist du dir bei der Funktionaldeterminante unsicher? Es ist $$ \det(J_{\Phi^{-1}}(r,\theta))=\det\begin{pmatrix} \cos(\theta)&\sin(\theta)\\ -r\sin(\theta)&r\cos(\theta)\end{pmatrix}=r. $$ LG Nico


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-28

Okei aber ich meine wenn wir ja schon in der Vorlesung gezeigt haben dass \(\Phi\) ein Diffeomorphismus zwischen den Polarkoordinaten und den Kartesischen koordinaten darstellt ist es dann nicht auch so dass seine Umkehrung dann \(\Phi(\Omega)=A\) erfüllt, also ich meine man könnte ja schon die Inverse angeben aber das finde ich ist hier nicht wirklich nötig da man sie ja nicht wirklich braucht. Ja dass die Determinante gleich \(r\) ist ist mir bewusst aber darf ich dann hier einfach sagen da ich ja eigentlich die Determinante der Jacobimatrix der Umkehrfunktion benötige, dass das dann einfach \(\frac{1}{r}\) ist?


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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-28

\quoteon(2021-06-28 08:32 - Strandkorb in Beitrag No. 4) Okei aber ich meine wenn wir ja schon in der Vorlesung gezeigt haben dass \(\Phi\) ein Diffeomorphismus zwischen den Polarkoordinaten und den Kartesischen koordinaten darstellt ist es dann nicht auch so dass seine Umkehrung dann \(\Phi(\Omega)=A\) erfüllt, also ich meine man könnte ja schon die Inverse angeben aber das finde ich ist hier nicht wirklich nötig da man sie ja nicht wirklich braucht. \quoteoff Ja, aber wieso ist $\Phi$ auch eine Bijektion zwischen den konkreten Mengen die du betrachtest? \quoteon(2021-06-28 08:32 - Strandkorb in Beitrag No. 4) Ja dass die Determinante gleich \(r\) ist ist mir bewusst aber darf ich dann hier einfach sagen da ich ja eigentlich die Determinante der Jacobimatrix der Umkehrfunktion benötige, dass das dann einfach \(\frac{1}{r}\) ist? \quoteoff Sind $U,V\subseteq\mathbb R^n$ offen und $f\colon U\to V$ ein Diffeomorphismus, so gilt für alle $x\in U$ $$ (f^{-1}\circ f)(x)=x $$ und damit $$ D(f^{-1}\circ f)(x)=\operatorname{id}_U. $$ Mit der Kettenregel erhalten wir also für alle $x\in U$ $$ Df^{-1}(f(x))\circ Df(x)=\operatorname{id}_U \ \Longleftrightarrow \ Df^{-1}(f(x))=\left(Df(x)\right)^{-1}. $$ LG Nico


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-28

Okei also das zweite macht nun wirklich Sinn vielen Dank! Nun noch zum ersten, ehrlich gesagt hätte ich einfach gesagt da ja meine Mengen Teilmengen der Mengen sind auf denen der Diffeomorphismus definiert ist und wenn es auf der Ganzen Menge ein Diffeomorphismus ist, so muss es ja auf einer Teilmenge auch stimmen, aber wir haben das nie wirklich angeschaut sondern einfach immer so angewendet wenn wir in der Vorlesung mit solchen Mengen irgendwelche Beispiele durchgerechnet haben. Könntest du mir hier weiterhelfen?


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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-28

\quoteon(2021-06-28 08:47 - Strandkorb in Beitrag No. 6) Nun noch zum ersten, ehrlich gesagt hätte ich einfach gesagt da ja meine Mengen Teilmengen der Mengen sind auf denen der Diffeomorphismus definiert ist und wenn es auf der Ganzen Menge ein Diffeomorphismus ist, so muss es ja auf einer Teilmenge auch stimmen [...] \quoteoff Dass das offensichtlich falsch ist sollte hoffentlich klar sein. Die Abbildung $f\colon \mathbb N\to \mathbb N, \ n\mapsto n$ ist bijektiv, aber die Abbildung $f|_{\lbrace 1\rbrace}\colon \lbrace 1\rbrace\to \mathbb N$ ist es offenbar nicht obwohl $\lbrace 1\rbrace\subseteq \mathbb N$ gilt. Diffeomorphismus bedeutet ja bijektiv, stetig differenzierbar und die Inverse auch stetig differenzierbar. LG Nico


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-28

Ja das ist klar aber wie gesagt dann habe ich nicht wirklich eine Idee wir das gehen könnte


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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-28

\quoteon(2021-06-28 08:51 - Strandkorb in Beitrag No. 8) Ja das ist klar aber wie gesagt dann habe ich nicht wirklich eine Idee wir das gehen könnte \quoteoff Es reicht wenn du eben noch versuchst zu begründen, warum $\Phi(\Omega)=A$ (mit den modifizierten Mengen, so dass sie offen sind) gilt. Den Rest liefert dir der Umkehrsatz und das Wissen über die Injektivität der Abbildung. LG Nico


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-28

ah okei super vielen Dank!


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