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Kein bestimmter Bereich J formale Potenzreihe
Magma93
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  Themenstart: 2021-06-29

Hallo, kann man diesen Ausdruck (rot umrahmt) als eine formale Potenzreihe bezeichnen? https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_4_1.png


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-29

\quoteon(2021-06-29 00:06 - Magma93 im Themenstart) Hallo, kann man diesen Ausdruck (rot umrahmt) als eine formale Potenzreihe bezeichnen? \quoteoff Ja, könnte man. LG Nico


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-29

\quoteon(2021-06-29 00:06 - Magma93 im Themenstart) kann man diesen Ausdruck (rot umrahmt) als eine formale Potenzreihe bezeichnen? \quoteoff Dies ist nur ein Polynom. Eine Potenzreihe hat üblicherweise unendlich viele Summanden.


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Magma93
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-29

Vielen dank, aber eure Antworten sind unterschiedlich, und ich weiß nicht, wer jetzt recht hat? StrAltEntf sagt, dass dies keine formale Potenzreihe sei und nzimme10 sagt, dass es eine formale Potenzreihe darstellt. Laut meiner Logik sieht das aber so aus wie eine formale Potenzreihe, weil die Summierung der Vielfache von Potenzen quasi bis ins Unendliche gehen kann. Das zeigt uns diese Floskel $+...+a_n x^n$.


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nzimme10
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-29

\quoteon(2021-06-29 00:24 - Magma93 in Beitrag No. 3) Vielen dank, aber eure Antworten sind unterschiedlich, und ich weiß nicht, wer jetzt recht hat? StrAltEntf sagt, dass dies keine formale Potenzreihe sei und nzimme10 sagt, dass es eine formale Potenzreihe darstellt. Laut meiner Logik sieht das aber so aus wie eine formale Potenzreihe, weil die Summierung der Vielfache von Potenzen quasi bis ins Unendliche gehen kann. Das zeigt uns diese Floskel $+...+a_n x^n$. \quoteoff Eine formale Potenzreihe ist zunächst nichts anderes als eine Folge $(a_n)_{n\in \mathbb N}$. Ein Ausdruck wie deiner könnte dann eben mit einer Folge identifiziert werden, die ab einem gewissen Index $n+1$ nur noch Nullen als Folgeglieder hat. In diesem Sinne könnte man auch in deinem Fall von einer formalen Potenzreihe sprechen. Polynome könnte man dann ganz allgemein als formale Potenzreihen sehen in denen nur endlich viele der $a_n$ verschieden von Null sind. Wenn man möchte, könnte man also für einen Ring $R$ definieren $$ R[X]:=\left\lbrace \sum_{n=0}^\infty a_nX^n \mid (a_n)_{n\in \mathbb N} \in R^{\mathbb N}, \ \exists n_0\in \mathbb N \, \forall n\geq n_0: a_n=0 \right\rbrace. $$ Wenn man Polynom so definiert, dann ist klar, dass $R[X]\subseteq R[[X]]$ ("Jedes Polynom ist auch formale Potenzreihe"). Aber wie bei vielen deiner Fragen gilt auch hier, dass es nicht wirklich ein "richtig" oder "falsch" gibt hier. Es hängt davon ab, wie genau du formale Potenzreihe definierst und welche Objekte du als "gleich" bezeichnen würdest. LG Nico


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-29

\quoteon(2021-06-29 00:24 - Magma93 in Beitrag No. 3) aber eure Antworten sind unterschiedlich, und ich weiß nicht, wer jetzt recht hat? StrAltEntf sagt, dass dies keine formale Potenzreihe sei und nzimme10 sagt, dass es eine formale Potenzreihe darstellt. Laut meiner Logik sieht das aber so aus wie eine formale Potenzreihe, weil die Summierung der Vielfache von Potenzen quasi bis ins Unendliche gehen kann. Das zeigt uns diese Floskel $+...+a_n x^n$. \quoteoff Sagen wir es so: Jedes Polynom ist auch eine Potenzreihe, aber nicht umgekehrt. Du hattest nicht gefragt "ist das eine Potenzreihe" sondern "kann man es als Potenzreihe bezeichnen?" Das war vielleicht nur missverständlich ausgedrückt bzw. ich hatte es falsch verstanden. Die Pünktchen deuten an, dass da beliebig viele Terme stehen können. Aber nicht unendlich viele.


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Magma93
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-29

Hallo, dank euch. Das habe ich gut verstanden nun.


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