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 reelle Gleichgewichtspunkte, Stabilität |
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lblts
Junior 
Dabei seit: 10.05.2018
Mitteilungen: 13
 |  Themenstart: 2021-06-30
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Hallo an Alle,
es geht um die folgende Aufgabe
x'=-x^3+\lambda*x wobei \lambda\el\ \IR
zu bestimmen sind für jeden Parameter \lambda\el\ \IR alle Gleichgewichtspunkte.
Zudem soll das jeweilige Stabilitätsverhalten diskutiert werden.
Als letzten Aufgabenteil stellt sich die Frage:
"Für welche Parameter ändert sich die Anzahl oder das Stabilitätsverhalten (sog. Bifurkationspunkte)"
Meine Lösungsidee war:
GGP sind die Nullstellen der DGL
also 0=-x^3+\lambda*x
Fallunterscheidung
\lambda=0 -> x=0 (GGP 1)
\lambda>0 -> für sowohl x>0 als auch x<0 , x^2=\lambda
dh. Wenn x^2=\lambda>0 sind alle x\el\IR GGP
\lambda<0 -> analog x^2=\lambda da x^2 aber immer postiv ist, ex. für \lambda<0 keine GGP
stimmt das soweit?
und wie soll ich den Rest der aufgabe bearbeiten?
Leider habe ich noch nie das Wort Bifurkationspunkt gehört...
Liebe Grüße,
Lea
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9680
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-30
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, Lea,
du musst doch in Abhängigkeit von \( \lambda\) die Nullstellen von \( -x^3+\lambda x \) bestimmen, und das sind eine oder drei.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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FibreBundle
Wenig Aktiv
Dabei seit: 02.01.2020
Mitteilungen: 149
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-30
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Hallo!
Wenn du $x'=f(x)$ hast, dann sind ja bekanntlich die Punkte $x_0$ mit $f(x_0)=0$ die kritischen Punkte. Diese kannst du, wie du sicherlich weist, über die Nullstellensuche berechnen.
Wenn sich nun die Anzahl der kritischen Punkte verändert, dann ändert sich auch die Dynamik im Phasenraum (hier die Definitionsmenge auf der reellen Achse). Diese Änderung nennt man Bifurkation.
Plotte dir am besten die Funktion $f(x)=-x^3+\lambda x$ für verschiedene Werte von $\lambda$ und überlege dir, was das für die Nullstellen bedeutet.
Was passiert bei $\lambda >0$, was bei $\lambda = 0$ und was bei $\lambda <0$?
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FibreBundle
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 02.01.2020
Mitteilungen: 149
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-30
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Das Stabilitätsverhalten siehst du in einem $x'-x$ Diagramm, wo du $x'$ auf der Ordinatenachse und $x$ auf der Abszissen-Achse einträgst.
Sind die Werte $f(x)=-x^3+\lambda x > 0$, so ist auch $x'>0$ und damit "geht die Trajektorie nach rechts" also in positive $x$-Richtung.
Sind die Werte $f(x)<0$ so "geht die Trajektorie nach links" also in negative $x$-Richtung.
Die Trajektorie ist dabei die Menge der Punkte im Phasenraum (hier die Definitionsmenge auf der reelle x-Achse), die zu der Lösungskurve $(t,x(t))$ im erweiterten Phasenraum gehören.
Der erweiterte Phasenraum ist dabei die $(t,x)$-Ebene (brauchst du für diese Aufgabe nicht wirklich).
Ist ein kritischer Punkt (Gleichgewichtspunkt) stabil, so "gehen die Trajektorien zum kritischen Punkt hin und nicht von ihm weg".
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