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| Autor |
  Affiner Unterraum |
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anna-m0ria
Neu 
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2021-06-30
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Hallo,
ich habe eine Aufgabe gelöst, glaube aber, dass die Lösung so nicht aussreicht bzw bin mir generell etwas unsicher.
Es geht um den affinen Unterraum:
\(G=span\{v_1-w_1,v_2-w2\}+(w_1,w_2)=\{\lambda(v_1-w_1)+w_1,\lambda(v_2-w_2)+w_2|\lambda\in K\}\)
Ich soll zeigen, dass für \(G\) auch gilt:
\(G=\Bigg\{(x_1,x_2)\in K^2|\det\bigg(\begin{bmatrix}1&v_1&v_2\\1&w_1&w_2\\1&x_1&x_2\end{bmatrix}\bigg)=0\Bigg\}\)
Ich habe mit der Regel von Sarrus die Gleichung \(det(...)=w_1x_2+v_1w_2+v_2x_1-w_1v_2-x_1w_2-x_2v_1\)
Für \(x_1=\lambda(v_1-w_1)+w_1\) und \(x_2=\lambda(v_2-w_2)+w_2\) erhalte ich auch \(det=0\).
Irgendwie werde ich das Gefühl aber nicht los, dass dies noch nicht ausreicht, weil ich nur gezeigt habe, dass \(det=0\) für alle \((x_1,x_2)\in G\) gilt und noch nicht, dass alle \(x_1,x_2\), die \(det=0\) erfüllen in \(G\) sind.
Über Feedback würde ich mich sehr freuen.
Gruß
Anna
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Sismet
Senior 
Dabei seit: 22.03.2021
Mitteilungen: 137
Wohnort: Heidelberg
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-30
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\ba}{\begin{align*}}
\newcommand{\ea}{\end{align*}}
\newcommand{\be}{\begin{equation*}}
\newcommand{\ee}{\end{equation*}}
\newcommand{\wo}{\backslash}
\)
Hey,
Sei:
\(G=span\{(v_1-w_1,v_2-w_2)\}+(w_1,w_2)=\{\lambda(v_1-w_1)+w_1,\lambda(v_2-w_2)+w_2|\lambda\in K\}\)
und
\(G'=\Bigg\{(x_1,x_2)\in K^2|\det\bigg(\begin{bmatrix}1&v_1&v_2\\1&w_1&w_2\\1&x_1&x_2\end{bmatrix}\bigg)=0\Bigg\}\)
Jetzt ist die Aufgabe zu zeigen : $G=G'$ Und wie du bereits festgestellt hast gilt schonmal $G\subset G'$ also muss nur noch die 2. Inklusion gezeigt werden. Mach dir dazu bewusst, dass aus der $det(...)=0$ Bedingung folgt, dass die Zeilenvektoren der Matrix linear abhängig sind. Schreibe das aus und forme das erhaltene LGS bisschen um und du wirst die 2. Inklusion zeigen.
Grüße
Sismet\(\endgroup\)
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anna-m0ria
Neu
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-30
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Hey Sismet,
danke für deine schnelle Antwort.
Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:
\(\begin{bmatrix}1&v_1&v_2\\1&w_1&w_2\\1&x_1&x_2\end{bmatrix}\xrightarrow[]{I-II}\begin{bmatrix}0&v_1-w_1&v_2-w_2\\1&w_1&w_2\\1&x_1&x_2\end{bmatrix}\xrightarrow[]{III-II}\begin{bmatrix}1&v_1&v_2\\1&w_1&w_2\\1&x_1-w_1&x_2-w_2\end{bmatrix}\)
Da mit \(det=0\) folgt, dass die vektoren linear abhängig sind, können wir folgende Gleichung aufstellen:
\(\lambda(v_1-w_1)=x_1-w_1\Longleftrightarrow \lambda(v_1-w_1)+w_1=x_1\)
\(\lambda(v_2-w_2)=x_2-w_2\Longleftrightarrow \lambda(v_2-w_2)+w_2=x_2\)
Und das ist was zu zeigen war.
Passt das so?
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Sismet
Senior
Dabei seit: 22.03.2021
Mitteilungen: 137
Wohnort: Heidelberg
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-30
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\ba}{\begin{align*}}
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\newcommand{\ee}{\end{equation*}}
\newcommand{\wo}{\backslash}
\)
Die letzte Matrix war nicht richtig. Aber du hast richtig weiter gerechnet. Das sollte passen. Ewt. sollte man noch kurz begründen warum man die beiden Gleichungen so aufstellen kann. ( Dabei ist wichtig, dass G nicht nur aus einem Punkt besteht.)
Hier die richtige Matrixumformung:
\(\begin{bmatrix}1&v_1&v_2\\1&w_1&w_2\\1&x_1&x_2\end{bmatrix}\xrightarrow[]{I-II}\begin{bmatrix}0&v_1-w_1&v_2-w_2\\1&w_1&w_2\\1&x_1&x_2\end{bmatrix}\xrightarrow[]{III-II}\begin{bmatrix}0&v_1-w_1&v_2-w_2\\1&w_1&w_2\\0&x_1-w_1&x_2-w_2\end{bmatrix}\)
Grüße\(\endgroup\)
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anna-m0ria
Neu
Dabei seit: 30.06.2021
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-30
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Ah na klar, da hatte ich beim copy-paste vergessen die erste zeile wieder zu ändern.
Vielen Dank für deine Hilfe :)
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anna-m0ria hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
anna-m0ria hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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