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  Rahmenbedingungen des Identitätssatzes |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2021-07-03
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Hey😃
ich habe vor kurzem bereits eine Frage zu holomorphen Funktionen gestellt (https://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=12923&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F) und Hier sollte man untersuchen wie viele Funktionen $f:B_1(0) \rightarrow \mathbb{C}$ existieren sodass beispielsweise $f(\frac{1}{n})=f(-\frac{1}{n})$ holomorph ist.
Nun wollte ich fragen, welche Rolle hier das $f:B_1(0) \rightarrow \mathbb{C}$ spielt und wie man die Voraussetzung ggf. abändern können, sodass der Identitätssatz nicht mehr greift und es nicht mehr nur eine eindeutige bzw. keine holomorphe Funktion, sondern mehrere gibt.
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Viele Grüße
happy_hippo
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2050
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-03
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Hallo,
man könnte den Identitätssatz wie folgt formulieren:
$\textbf{Satz.}$ Sei $G\subseteq \mathbb C$ ein $\textbf{Gebiet}$ und $f\colon G\to \mathbb C$ holomorph. Dann sind äquivalent:
(i) $f\equiv 0$ auf $G$
(ii) Es gibt eine offene Menge $U\subseteq G$ mit $f|_U\equiv 0$
(iii) Die Menge der Nullstellen von $f$ in $G$ hat einen Häufungspunkt in $G$
(iv) Es gibt ein $z_0\in G$ mit $f^{(n)}(z_0)=0$ für alle $n\in \mathbb N_0$
Wesentliche Voraussetzung für die Äquivalenz der Aussagen ist, dass $G$ zusammenhängend ist. Ist z.B. $G$ die Vereinigung von zwei disjunkten Kreisscheiben $B_0$ und $B_1$ und setzt man $f(z):=0$ für $z\in B_0$ und $f(z):=1$ für $z\in B_1$, so ist $f$ holomorph auf $G$ und erfüllt (ii)-(iv), aber es ist $f\not\equiv 0$ auf $G$.
Die Voraussetzung in deiner Aufgabe, dass $f$ auf $B_1(0)$ definiert ist, ist also in sofern wichtig, dass $B_1(0)$ ein Gebiet und damit zusammenhängend ist.
LG Nico
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-03
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Hallo nzimme10,
vielen Dank, dass du mir auch bei diesem post weiterhilfst😄
Bedeutet das, dass wenn ich nun beispielsweise bei $B_1(0)\{0}$ der Indentitätssatz dann nicht mehr greifen würde, oder?
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2050
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-03
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Meinst du $G:=B_1(0)\setminus\lbrace 0\rbrace$?
Warum wäre dieses $G$ denn nicht zusammenhängend? Anders gefragt: Wieso sollte dieses $G$ kein Gebiet sein?
Hast du eventuell zusammenhängend mit einfach-zusammenhängend verwechselt?
LG Nico
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-03
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Hey nzimme10,
bitte entschuldige meine Späte Antwort. Mir ist mittlerweile klar, dass ich ganz schön viel verwechselt habe.
Ich habe in der Zwischenzeit nochmal etwas weiter recherchiert
Vielen Dank, dass du nochmal geschrieben hast, dass ist sehr nett😄
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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