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| Autor |
 Jordan-, Lebesgue-, Borel-messbare Mengen |
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jaz1905
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 02.05.2020
Mitteilungen: 143
 |  Themenstart: 2021-07-04
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Hallo,
bald steht meine Prüfung in Maß- und Integrationstheorie an. Diesbezüglich wollte ich jeweils einen Beispiel in |R mir raussuchen, dafür dass
(a) Die Menge der Jordanmessbaren Teilmengen eine echte Teilmenge von den lebesguemessbaren Teilmengen ist (also eine lebesguemessbare Menge, die nicht Jordan-messbar ist.
(b) eine Borelmenge, die nicht lebesgue-messbar ist
(c) eine Teilmenge, die nicht Borel-messbar ist.
Könnt ihr mir da vielleicht helfen? Insbesondere bei der a?
Ich glaube, zur b und c haben wir schon in der Vorlesung was behandelt, muss mir das nochmal anschauen.
Danke!
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3810
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-04
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Hallo,
zur a) $[0,1]\cap \mathbb Q$ ist Lebesgue messbar aber nicht Jordan messbar. Warum?
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Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2646
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-07-04
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
\quoteon(2021-07-04 14:00 - jaz1905 im Themenstart)
(b) eine Borelmenge, die nicht lebesgue-messbar ist
(c) eine Teilmenge, die nicht Borel-messbar ist.
\quoteoff
Zu b) Das gibt es nicht. Alle Lebesgue-messbaren Teilmengen sind von der Form $B\cup N_L$, wobei $B$ eine Borelmenge und $N_L$ eine Lebesgue-Nullmenge ist. Insbesondere sind alle Borelmengen Lebesgue-messbar.
Zu c) Explizit eine nicht messbare Menge anzugeben wird schwierig; dafür benötigst du das Auswahlaxiom. Ein Beispiel für eine Lesbesgue-messbare Menge, die nicht Borel-messbar ist, findet man z.B. hier.
LG Nico\(\endgroup\)
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