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 Verhältnis Kreisradien in berührenden Kreisen |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2021-07-04
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Hallo, es sind zwei gleichgroße Kreise mit dem Radius R gegeben. Die kleinen Kreise haben jeweils den Radius r. Alle Kreise berühren sich.
Man soll das Verhältnis von R zu r bestimmen.
Ich habe folgende Skizze angefertigt:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54811_Figur.png
Bisher nach ich mit rechtwinkigen Dreieck nur folgendes ermittelt:
(R+r)^2=R^2+(x+r)^2
x^2+2xr-2Rr=0
x_(1 bzw. 2) = -r +-sqrt(r^2+2Rr)
(R+r)^2=r^2+(R+y)^2
y^2+2Ry-2Rr=0
y_(1 bzw. 2) = -R +-sqrt(R^2+2Rr)
Ich muss das Verhältnis R/r bestimmen. Kann mir einer weiterhelfen??? Welche Gleichungen brauch ich noch wie muss ich nun weiter vorgehen???
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-04
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Hallo und willkommen hier im Forum!
Hm, ist das wirklich Schulmathematik? Bzw. gibt es da eine Aufgabenstellung dazu, oder ist es ein reales Problem?
Beziehe einmal den Winkel zwischen den Strecken vom Mittelpunkt des großen zu den Mittelpunkten zweier benachbarter kleiner Kreise noch in deine Überlegung mit ein...
EDIT: nein, das mit dem Winkel war ein Trugschluss, so einfach geht es nicht.
Gruß, Diophant
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-04
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Ja, Oberstufe, PLUS-Kurs.
Die Skizze ist die Aufgabenstellung. Ich habe hier für mich die Dreiecke und den gestrichelten Kreis eingemalt. Im Text stand das, was ich hier geschrieben habe.
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-04
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Hallo
Die Mittelounkte der beiden großen Kreise und der Berührpunkt des großen rechten Kreises und einem kleinen Kreis bilden ein Dreieck mit den Maßen
R+r, 2*R und R. Von diesem Dreieck lässt sich die Höhe berechnen. Mit Hilfe des Strahlensatzes lässt sich dann r+x berechnen. r+x lässt sich aber auch mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Man kann schließlich beide Formeln für r+x gleichsetzen.
Gruß Caban
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-04
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Hallo Carbon, meinst du so:
Mit der Ähnlichkeit berechne ich die Höhe in dem Dreieck das zu beschrieben hast:
h /R = (R+r)/(2R)
h = (R+r)/2
Wie zeige ich, dass das Dreieck rechtwinklig beim Berührpunkt war???
Mit dem Strahlensatz für Parallelen fehlt mir noch eine Seite um den Satz snwenden zu können?
(r+x)/((R+r)/2)=R/(????)
In welchem Dreieck muss ich noch den pythagoras für r+ x anwenden? Zwei Formeln stehen im ersten Post schon bei mir.
Danke!
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-04
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50476_Dreieck7.png
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haribo
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Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4501
| Beitrag No.6, eingetragen 2021-07-04
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@caban, dein dreieck kann ich nicht nachvollziehen, der gestrichelte R+r kreis geht ja eben nicht durch den berührpunkt bei deinem "C", oder?
aber die hellblaue berühr tangente des ersten kleinen kreises ergibt ein weiteres rechtwinkliges dreieck von dem 2 seiten bekannt sind, evtl hilft das weiter?
mit: 5 alpha + beta = 180°
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_kreisradien.png
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-07-04
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Haribo
Stimmt du hast recht.
Dann würde aber folgendes gehen:
I r=(r+R)*sin(\alpha)
II R=(R+r)*cos(180°-5*\alpha)
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05
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Danke für die Hilfen.
Mit den beiden Gleichungen von Carban kann man das Verhätltnis r/R ansetzen. Aber wie kann ich dann den Winkel Alpha noch eliminieren??
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4501
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-07-05
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alpha willst du doch nicht eliminieren, sondern berechnen um es dann in I od II einsetzen zu können?
(ich kann (cos(180°-5*\alpha) aber leider auch nicht geschickt richtig umformen... zu lange her)
haribo
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05
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Mit der Formelsammlung habe ich:
cos(180°-5*\alpha)=cos(180°)cos(5*\alpha)+sin(180°)sin(5*\alpha)=-cos(5*\alpha)
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Caban
Senior
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-07-05
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Hallo
Welche Hilfsmittel hast du zur Verfügung?
Gruß Caban
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05
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Wie meinst?
Taschenrechner, Formelsammlung
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Caban
Senior
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-07-05
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Hallo
Welchen Taschenrechner habt ihr zur Verfügung?
Gruß Caban
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05
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CAS und normaler wissenschaftlicher Taschenrechner.
GeoGebra geht auch.
Kommt man hier nur mit einer Näherungslösung weiter? Oder kann man auch ohne CAS die Aufgabe lösen?
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-07-05
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Hallo
Ich denke, dass eine Lösung ohne CAs nicht möglich ist, der CAS sollte die Aufgabe lösen können.
Gruß Caban
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05
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Welche Gleichungen brauche ich denn noch um Alpha bzw. R/r bestimmen zu können?
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Caban
Senior
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| Beitrag No.17, eingetragen 2021-07-05
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Hallo
Du brauchst nur die Gleichungen aus Beitrag 7, Du kannst R=1 setzen. Dann hast du ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten, dass der CAS näherungsweise lösen kann.
Gruß Caban
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05
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Ich habe R = 1 gesetzt. In GeoGebra wird immer keine Lösung ausgegben :-(
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Caban
Senior
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| Beitrag No.19, eingetragen 2021-07-05
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Hallo
Nein, du sollst das Gleichungssystemmenü des CAS benutzen.
Gruß Caban
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05
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Kann das so sein?
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54811_CAS.PNG
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05
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Und die Umformung aus meinem Beitrag Nr 10 ist die korrekt?
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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| Beitrag No.22, eingetragen 2021-07-05
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Hallo
Die Umformung stimmt. Könntest du deinen Cas so einstllen, das x zwischen 18 und 36 Grad liegt.
Gruß Caban
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05
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Kann ich dem Programm nicht einstellen.
In "Maxima" (freies CAS) wird keine Lösung angezeigt... evtl. ist das Gleichungssystem so nciht lösbar?
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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| Beitrag No.24, eingetragen 2021-07-05
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Hallo
Dann machen wir das anders, stelle beide Gleichungen nach r um und schau nach wo beide Funktionen sich treffen.
Gruß Caban
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05
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Hier habe ich z. B. folgende Schnittpunkte erhalten:
(Alpha, r)
(0.44, 0.73)
(0.9, 3.6)
(2.16, 4.84)
(3.06, 0,09)
Ich habe die beiden Terme nach r aufgelöst als Funktionsgraph in GeoGebra dargestellt und mir die Schnittpunkte anzeigen lassen.
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Caban
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| Beitrag No.26, eingetragen 2021-07-05
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Hallo
(0.44, 0.73) ist die einizig sinnvolle Lösung.
Das Verhältnis ist also r:R=0.73:1
Gruß Caban
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haribo
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Dabei seit: 25.10.2012
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| Beitrag No.27, eingetragen 2021-07-05
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fals dir im PLUS-kurs noch ne anderer lösungsweg unterkommt würde ich mich freuen wenn du ihn uns mitteilst
haribo
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4501
| Beitrag No.28, eingetragen 2021-07-06
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\quoteon(2021-07-05 20:38 - Caban in Beitrag No. 26)
Hallo
(0.44, 0.73) ist die einzig sinnvolle Lösung.
Das Verhältnis ist also r:R=0.73:1
Gruß Caban
\quoteoff
(2.16, 4.84) ist möglicherweise auch sinnvoll [braves GeoGebra], dabei umrunden die sechs kreise den linken zweimal bevor sie wieder den rechten tangieren
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_kreisradien2.PNG
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-06
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Ich habe die Seite c mit Pythagoras berechnet und den Sinus im rechtwinkligen Dreieck nun angewendet:
sin(\beta)=c/(r+R)
sin(180°-5*\alpha)=sqrt(2Rr+r^2)/(r+R)
sin(5*\alpha)=sqrt(2Rr+r^2)/(r+R)
Heute wurden die Supplementärwinkel betrachtet und als Hinweis zur Lösung gegeben. Dies Umformung habe ich oben nun verwendet.
Mit dem Additionstheorem:
sin(5\alpha)=5*sin(\alpha)-20*(sin(\alpha))^3+16*(sin(\alpha))^5
sqrt(2Rr+r^2)/(r+R) = 5*r/(r+R)-20*(r/(r+R))^3+16*(r/(r+R))^5
Jetzt muss ich diese Gleichung lösen.
Ich denke, dass geht nur näherungsweise mit CAS?
Oder hat jemand einen Vorschlag?
Ich hoffe dass obige Gedanken stimmen?
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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
haribo
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Dabei seit: 25.10.2012
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| Beitrag No.30, eingetragen 2021-07-06
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wenn zum lösen doch nur CAS taugt versteh ich nicht wiso der umweg über hypothenuse und additionstheorem besser sein soll als es auch mit suplementärwinkel und cos zu bewerkstelligen, wie du es ja schon gelöst hattest?
also ungefähr so meine ich: wenn der CAS itteriert könnte man ja auch selber eine solche aufstellen und sehr schnell zu ner näherung kommen
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_kreisradien3.PNG
haribo
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werner
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Wohnort: österreich
| Beitrag No.31, eingetragen 2021-09-18
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da kann ich Haribo nur recht geben, mit Newton:
x=r/R
f(x)=5*arcsin(x/(1+x))+arccos(1/(1+x))-\pi=0
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/6049_kreisliches_zeug.JPG
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