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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Vektorraum, Abbildung nilpotent f = 0
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Universität/Hochschule Vektorraum, Abbildung nilpotent f = 0
dorfschmied
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  Themenstart: 2021-07-05

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54068_dw.png \ Problem/Ansatz: Ich finde keinen Ansatz zu dieser Aufgabe. Wie könnte ich bei dieser Aufgabe beginnen? LG

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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-05

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Kannst du begründen, dass $f$ diagonalisierbar ist? Überlege dir (z.B. falls es dir leichter fällt in der Sprache der Matrizen) warum eine nilpotente diagonalisierbare Matrix bereits die Nullmatrix sein muss. LG Nico\(\endgroup\)

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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-07-05

Alternativ: Eine leichte Induktion reduziert das Problem auf den Fall $f^2=0$ und $f$ selbstadjungiert. Dann ist $\lVert f(x) \rVert^2 = \langle f(x),f(x) \rangle = \langle x,f^2(x) \rangle = 0$.

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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-05

Alternativ zu dem "schweren Geschütz" des Spektralsatzes kann man auch die Gleichung$$ \langle x|f^{2k}x\rangle = \|f^kx\|^2 $$betrachten und daraus schließen, dass für den kleinsten Index $k$ mit $f^k=0$ die Ungleichung$$ \left\lceil{k\over2}\right\rceil\ge k $$gelten muss. Das bedeutet aber $k=1$. --zippy [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

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dorfschmied
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05

Danke erstmal für die Antworten! Ich habe zunächst versucht dem ersten Ansatz von Nico zu folgen. Könnte ich zeigen das die Matrix diagonalisierbar wäre, dann wäre die Darstellungsmatrix von f zu einer geeigneten Basis eine Diagonalmatrix, und da die Diagonalelemente die Eigenwerte sind, wäre die Darstellungsmatrix die Nullmatrix. Wie könnte ich denn in diesem Fall die Diagonalisierbarkeit der Matrix überprüfen? LG

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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-05

\quoteon(2021-07-05 19:13 - dorfschmied in Beitrag No. 4) Wie könnte ich denn in diesem Fall die Diagonalisierbarkeit der Matrix überprüfen? \quoteoff Wie zippy schon sagte, wäre das in diesem Fall eine Folgerung aus der Selbstadjungiertheit. Der relevante Satz wäre der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen. LG Nico

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dorfschmied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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