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Funktionentheorie » Integration » Integrationsreihenfolge vertauschen
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Universität/Hochschule J Integrationsreihenfolge vertauschen
Pter87
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  Themenstart: 2021-07-05

Hallo, ich bin gerade dabei in meinem Skript den Beweis des Cauchyschen Integralsatzes zu verstehen, verstehe aber eine Gleichung nicht so recht. Es geht um folgende Gleichheit: \[ \int_{\gamma_1}\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\; dz = \int_{\gamma_2}\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}dz\; d\zeta \] Wieso kann er hier einfach tauschen? Wendet er hier den Satz von Fubini an? Die zwei Kurven verlaufen in dem jeweiligen Gebiet wo $f$ holomorph ist und sind geschlossen.


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-05

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, Bezeichne $g(z,\zeta):=\frac{1}{2\pi\i}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}$. Tatsächlich ist die Stetigkeit von $g$ auf $|\gamma_1|\times|\gamma_2|$ bereits ausreichend um $$ \int_{\gamma_1}\int_{\gamma_2} g(z,\zeta) \d\zeta\d z=\int_{\gamma_2}\int_{\gamma_1} g(z,\zeta) \d z\d\zeta $$ mit Fubini zu erhalten (Vgl. Fischer-Lieb Funktionentheorie 8. Auflage §4 Satz 4.4). LG Nico\(\endgroup\)


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Pter87
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-15

Vielen Dank, genau das habe ich gesucht.


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