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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Kommutator im Integral
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Universität/Hochschule Kommutator im Integral
Kiwi98
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  Themenstart: 2021-07-08

Hallo Zusammen, ich habe folgendes Problem: Ich betrachte gerade einen getriebenen harmonischen Oszillator und soll an dem System einige Größen ausrechnen. Nun ist der HO ja an sich aufgrund seiner unendlich vielen Energielevel ein kaum noch durch Matrizen darstellbares System, weswegen ich mich in der "Integral-Formulierung" bzw. dem Ortsraum bewege. (Die Probleme sind hierbei sehr wahrscheinlich dadurch entstanden, dass ich damit keine Erfahrungen habe. In der Vorlesung haben wir uns ausschließlich in der Matrix-Formulierung der QM bewegt). Es Geht mir jetzt um herkömmliche Matrixoperationen wie etwa die Spurberechnung. Beschreibe ich mein System in der Basis des ungetriebenen HO $\psi_i=(2^ii!\pi^{1/2})^{-1/2}\exp{(-1/2x^2)}H_i(x)$ mit $H_i(x)$ den Hermitischen Polynomen, dann kann ich die Spur meines Dichteoperators ja wie folgt ausrechnen: $\mathrm Tr\,{\rho}=\sum_n\int \psi_n(x)^*\cdot \rho(x)\cdot \psi_n(x)\mathrm{}dx$ (wenn jemand Ahnung hat warum ich den gesamten Dichteoperator jetzt als skalare Funktion ausdrücken kann wäre ich auch um zumindest eine kleine Bestätigung dankbar) Nun zu meinem eigentlichen Problem: Dem Kommutator. Im Rahmen der ganzen sache soll ich nun die Wigner-Yanase-Skew-Information ausrechnen (was das ist ist erstmal unwichtig). Diese setzt sich wie folgt zusammen $\mathcal{I}(\rho,\mathcal{H})=-1/2\,\mathrm Tr\,({[\sqrt{\rho},\mathcal{H}]^2})$. Nun nehme ich an, dass ich einfach die Impulse durch $i\hslash\partial_x$ ersetze und einfach brute force meine Sache im Integral durchrechne. Oder muss ich irgendetwas anderes beachten? Danke im Voraus und liebe Grüße Kiwi


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-08

\quoteon(2021-07-08 09:32 - Kiwi98 im Themenstart) Nun ist der HO ja an sich aufgrund seiner unendlich vielen Energielevel ein kaum noch durch Matrizen darstellbares System, weswegen ich mich in der "Integral-Formulierung" bzw. dem Ortsraum bewege. \quoteoff Das Gegenteil ist richtig: Im Regelfall ist es für den HO sinnvoll, mit den abzählbaren Matrizen der Besetzungszahldarstellung oder mit Leiteroperatoren zu arbeiten und die Finger von der Ortsdarstellung zu lassen. Bist du dir wirklich sicher, dass die Ortsdarstellung für dein Problem der richtige Weg ist? --zippy


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Kiwi98
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-08

danke für die schnelle Antwort zippy. Da bin ich mir leider nicht sicher. Ich schaue mal was die Besetzungsdarstellung ist und wie man mit den Leiteroperatoren arbeitet. Ist die Einfachheit dieser Formalismen auch auf den getriebenen HO zu übertragen? $\mathcal{H}=p^2/2m+1/2M\omega(t)X^2$. Eine Lösung dieses Systems ist in https://academic.oup.com/ptp/article/9/4/381/1849279 zu finden. Dort wird allerdings in der Ortsdarstellung gerechnet.


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Kiwi98
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-09

Also die Besetzungsdarstellung sieht nach der 2. Quantisierung aus. Damit kenne ich mich leider nicht aus, bin im Moment noch im Bachelor. Zu der Darstellung mit den Leiteroperatoren finde ich leider wenig zum getriebenen harmonischen Oszillator. ganz unabhängig davon ist mir aufgefallen, dass $\rho(x,y)=\langle x|\rho|y\rangle$ ist. das bedeutet um die Wurzel aus $\rho$ zu bestimmen kann ich nicht einfach die Wurzel aus dieser einen Funktion ziehen... Hätte jemand Ideen?


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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-07-09

\quoteon(2021-07-09 08:05 - Kiwi98 in Beitrag No. 3) Also die Besetzungsdarstellung sieht nach der 2. Quantisierung aus. \quoteoff Der Eindruck täuscht. Du verwendest lediglich eine Basis aus Eigenzuständen zum Anzahloperator $N$. Im getriebenen Fall könnte aber auch irgendeine andere abzählbare Basis sinnvoll sein. \quoteon(2021-07-09 08:05 - Kiwi98 in Beitrag No. 3) das bedeutet um die Wurzel aus $\rho$ zu bestimmen kann ich nicht einfach die Wurzel aus dieser einen Funktion ziehen... \quoteoff Richtig, das geht nur in einer Basis, in der $\rho$ diagonal ist. In der Ortdarstellung ist die Berechnung von $w=\sqrt\rho$ gleichbedeutend mit der Lösung der Integralgleichung $\rho(x,y)=\int w(x,z)\,w(z,y)\,dz$ unter passenden Nebenbedingungen (die sicherstellen, dass $w$ einen nicht-negativen Operator darstellt). Interessant wäre es zu wissen, was denn bei dir $\rho$ eigentlich ist, d.h. wie du überhaupt zu einem gemischten Zustand kommst. Nur vom Treiben allein wir ja ein reiner Zustand nicht gemischt.


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Kiwi98
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-09

Hallo zippy, ich kann dir $\rho$ gerne mal hinschreiben aber bitte nicht erschrecken :D Wobei, ein Bild ist sicher geschickter. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52100_rhoHO.PNG Das ist aus dem Paper https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s11128-020-02963-4.pdf und nicht von mir selbst hergeleitet. Wie du siehst ist das nicht sehr schön ^^. Was ich mir überlegt habe ist: Die Eigenenergiene sollten dieselben bleiben, da mein Hamiltonian $\mathcal{H}=p^2/2m+1/2m\omega (t)x^2$ keinen weiteren Orts- oder impulsabhängigen Teil hat (werden halt Zeitabhängig). Für die Zeitabhängigkeit wird der Ausdruck $\omega(t)^2=\omega_0^2-(\omega_o^2-\omega_1^2)\cdot t\tau$ angesetzt. Die Zeitentwicklung ist natürlich eine andere, da der Hamiltonian explizit Zeitabhängig ist. Allerdings sollten wie gesagt die Eigenwerte $E_n=\hslash \omega(t)(n+1/2)$ erhalten bleiben. Die Eigenfunktionen werden natürlich auch Zeitabhängig und sehen vermutlich etwas anders aus. Für den Zeitentwicklungsoperator habe ich natürlich auch einen Ausdruck: $U(x,y,t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i h X(t)}}\cdot \exp{-\frac{im}{2\hslash X(t)}(\dot{X}(t)x^2-2xy+y^2Y(t))}$. Gehe ich recht in der Annahme dass du denkst folgendes Vorgehen ist sinnvoller: 1.) Zeitentwicklungsoperator durch die HO-Eigenbasis ausdrücken und damit den Zeitabhängigen Dichteoperator (auch in HO-Eigenbasis) errechnen. 2.) Dann ganz herkömmlich in Matrixnotation die Wurzel von $\rho$ - sofern das so einfach geht - zu bestimmen Um dann den Kommutator zwischen $\rho$ und $\mathcal{H}$ zu bestimmen bräuchute ich natürlich noch $\mathcal{H}$ in der Eigenbasis des HO (was ja ganz gut machbar sein sollte durch Sprktraldarstellung und mithilfe des Zeitentwicklungsoperators für die Zeitabhängigen Eigenzusände). Wie komme ich jetzt An den Zeitentwicklungsoperator? So wie er hie steht beschreibt der ja immer einen Eintrag der eigentlichen Matrix.


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Kiwi98
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-09

P.S. Mir ist aufgefallen, dass der Dichteoperator so wie er da steht natürlich auch schon in einer Basis ist. Ich nehme aus dem Kontext wie es im Paper geschrieben ist jetzt einfach mal heraus, dass dieses existierende $\rho$ in der (ungetriebenen) HO-Eigenbasis ist.


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-07-09

Du hast immer noch nicht erklärt, wie du überhaupt auf einen gemischten Zustand kommst. Wenn du (wie es in dem eingefügten Bild zu sehen ist) mit einem reinen Zustand $|\psi_0\rangle\!\langle\psi_0|$ startest und wenn es sich tatsächlich um einen getriebenen harmonischen Oszillator handelt, dann bleibt der Zustand ja auch rein und es gilt stets $\sqrt\rho=\rho$. Da aber in dem Titel des Artikels (den ich leider nicht abrufen kann) das Stichwort "Jaynes–Cummings-Model" auftaucht, nehme ich mal an, dass es in Wahrheit um etwas anderes geht. \quoteon(2021-07-09 12:34 - Kiwi98 in Beitrag No. 6) Ich nehme aus dem Kontext wie es im Paper geschrieben ist jetzt einfach mal heraus, dass dieses existierende $\rho$ in der (ungetriebenen) HO-Eigenbasis ist. \quoteoff Wo siehst du da eine HO-Eigenbasis? Dieses $\rho$ ist doch einfach in der Ortsdarstellung angegeben.


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Kiwi98
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-09

Sorry falscher Artikel https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/aa83dc/pdf Titel: Geometric quantum speed limits: a case for Wigner phase space (Dazu: Ich soll nicht genau das machen was der Verfasser macht sondern ein anderes Quantum Speed Limit berechnen. Eben eines mit der Skew-Information). Zu dem gemischten Zustand: Das ist natürlich richtig, wenn sich das System in einem Eigenzustand befindet, dann bleibt der Zustand rein. Nur ist der Anfangszustand ja kein Eigenzustand des getriebenen HO sondern ein Eigenzustand des normalen HO. (das hatte ich bisher noch nicht erwähnt sorry). Diese haben ja nur bei $t=0$ dieselben Eigenzustände und für $t \in ]0,\tau]$ - also in dem Zeitintervall, in dem mich die Dynamik interessiert - nicht mehr. Und bei der Basis habe ich mich auch etwas undeutlich ausgedrückt. Auf Wikipedia findet man $\rho(x,y)=\langle x|\rho|y\rangle$ als Dichtematrix in der Ortsdarstellung. "Sie ist allerdings keine echte Matrix, da die Ortsdarstellung über ein Kontinuum von uneigentlichen Basisvektoren $ |x\rangle$ definiert ist, sondern ein so genannter Integralkern." Ich meinte also um auf die Darstellung von $\rho(x,y)$ zu kommen, muss ich ja irgendwelche "uneigentlichen" Basisvektoren nehmen und habe gedacht dass hierzu eventuell die Eigenbasis des ungetriebenen HO verwendet wird (was ja nicht stimmen sollte, sondern die "Basis des Ortsoperators"). Vielleicht verstehe ich das auch falsch. In unserem Skript zu QM1 steht $|\psi\rangle = \int \mathrm{d}x |x\rangle \langle x|\psi\rangle =\int \mathrm{d}x \psi(x)|x\rangle $mit $|x\rangle$ den Eigenvektoren des Ortsoperators $\hat{x}|x\rangle=x|x\rangle$ (ich nehme mal an das ist eine abstrakte Schreibweise, wenn nicht verstehe ich nicht wirklich wie solch eine Integration tatsächlich aussehen soll). Das bedeutet für mich im Umkehrschluss aber auch, dass ich zwischen Orts- und Matrixdarstellung das ganze immer auf eine Basis (in dem Fall die Orts-Eigenbasis) beziehen muss. Wenn du mir folgende Verständnislücke Füllen könntest wäre ich dir sehr dankbar: Wie genau funktioniert das hin und her zwischen Orts- und Hilbertraum jetzt? $\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$ (wie sieht denn $|x\rangle$ überhaupt aus? und um von Orts in den Hilbertraum zu kommen das obige Integral (wo ich ebenfall das $|x\rangle$ nicht verstehen kann).


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zippy
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\quoteon(2021-07-09 13:54 - Kiwi98 in Beitrag No. 8) Das ist natürlich richtig, wenn sich das System in einem Eigenzustand befindet, dann bleibt der Zustand rein. Nur ist der Anfangszustand ja kein Eigenzustand des getriebenen HO sondern ein Eigenzustand des normalen HO. \quoteoff Ein reiner Zustand bleibt unter einer unitären Zeitentwicklung immer rein, er muss dafür kein Eigenzustand des Hamiltonoperators sein. Aber in dem von dir verlinkten Artikel steht bereits auf der ersten Seite, dass es eben nicht um die unitäre Zeitentwicklung geht, die ein isolierter getriebener harmonischer Oszillator ausführen würde, sondern um ein System, das an seine Umgebung koppelt. \quoteon(2021-07-09 13:54 - Kiwi98 in Beitrag No. 8) Wie genau funktioniert das hin und her zwischen Orts- und Hilbertraum jetzt? \quoteoff Wenn dich solche Fragen beschäftigen, solltest du wirklich nochmal ein Buch oder Skript zur Quantenmechanik zur Hand nehmen.


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