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Funktionentheorie » Integration » Wieso ist das Residuum 0?
Autor
Universität/Hochschule J Wieso ist das Residuum 0?
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2021-07-20

Hi😄 ich versuche gerade, die Art der isolierten Singularität und das Residuum von $f(z)=cos(\frac{1}{z})$ zu bestimmen. Ich habe schonmal herausbekommen, dass es sich um eine wesentliche Singularität handelt (das sollte nach den Lösungen auch stimmen, habe aber nur die Endlösung ohne Weg). Jetzt steht dort aber das $Res_0(f)=0$, was ich nicht nachvollziehen kann. Ich bin folgendermaßen vorgegangen: $f(z)=cos(\frac{1}{z})=...=\sum \limits_{n=-\infty}^{0}\frac{(-1)^{-n}}{(-2n)!}*z^{2n}$ Nun habe ich ja $a_2n$ und für $a_{-1}$ müsste ich $n=-\frac{1}{2}$ wählen. Setzte ich das jedoch in $\frac{(-1)^{-n}}{(-2n)!}$ ein erhalte ich $i$. Wisst ihr vielleicht, was ich falsch mache? Ich würde mich sehr über Hilfe freuen Viele Grüße happy_hippo


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-20

Huhu happy_hippo, \(n \in \mathbb{Z}\). Da \(2n\) für alle \(n\in\mathbb{Z} \) gerade und \(1\) ungerade ist, muss der Koeffizient eben Null sein - und so ist es dann auch das Residuum. Gruß, Küstenkind


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-20

Hey Küstenkind, vielen Dank für deine schnelle und gute Hilfe.Ich habe es jetzt verstanden😄👍


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