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Lineare Algebra » Eigenwerte » Ähnlichkeit von Matrizen
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Universität/Hochschule J Ähnlichkeit von Matrizen
mathilde01
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  Themenstart: 2021-07-22

Sei $n\in \mathbb N$ und $A\in Gl(n,\mathbb R)$ symmetrisch. Wir nehmen an, dass $A$ ähnlich ist zu $-A$. Zeigen Sie, dass $n$ eine gerade Zahl ist. Ich habe mir gedacht, dass $A$ als symmetrische Matrix diagonalisierbar ist, also ähnlich zu $D=\begin {pmatrix} \lambda_1 \\ &\ddots\\ & &\lambda_n \\ \end{pmatrix}$ Da $-A$ auch symmetrisch ist und die negativen Eigenwerte von $A$ hat, ist $-A$ ähnlich zu $-D=\begin {pmatrix} -\lambda_1 \\ &\ddots\\ & &-\lambda_n \\ \end{pmatrix}$ Ich weiß jetzt nicht, wie ich weiter machen kann, falls das überhaupt ein guter Ansatz ist.


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-22

Hallo, hm: hattet ihr schon Determinanten? Damit würde sich das ganze sehr einfach zeigen lassen. (Was gilt für die Determinanten ähnlicher Matrizen?) Gruß, Diophant


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mathilde01
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-22

Wenn $A$ und $B$ ähnlich sind, ist det($A$)=det($B$). Aber wie hilft mir das weiter?


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Was passiert mit der Determinante einer Matrix, wenn du (bspw.) eine Zeile der Matrix mit \(-1\) multiplizierst? Was passiert, wenn du alle Zeilen und damit die gesamte Matrix mit \(-1\) multiplizierst? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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mathilde01
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-22

Wenn also $A$ und $-A$ ähnlich sind,gilt: det($A$)=det($-A$)$\Leftrightarrow$ det($A$)=$(-1)^n$det($A$). Damit die Gleichheit gilt, muss $n$ gerade sein. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2021-07-22 15:22 - mathilde01 in Beitrag No. 4) Wenn also $A$ und $-A$ ähnlich sind,gilt: det($A$)=det($-A$)$\Leftrightarrow$ det($A$)=$(-1)^n$det($A$). Damit die Gleichheit gilt, muss $n$ gerade sein. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.] \quoteoff Genau (bis auf Schreibfehler). 👍 Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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mathilde01
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-22

Super, vielen Dank :) Also ist die Voraussetzung, dass $A$ symmetrisch ist, nicht relevant um die Aufgabe zu lösen.


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-07-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2021-07-22 15:25 - mathilde01 in Beitrag No. 6) Super, vielen Dank :) Also ist die Voraussetzung, dass $A$ symmetrisch ist, nicht relevant um die Aufgabe zu lösen. \quoteoff Genau, das benötigt man hier nicht. Bzw. sagt uns das einfach, dass die Matrix \(A\) quadratisch ist (was wir durch die Frage nach der Ähnlichkeit sowieso schon annehmen). Oder ist das vielleicht Teil einer größeren Aufgabe? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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