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Analysis » Folgen und Reihen » Summe einer geometrischen Reihe bestimmen
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Universität/Hochschule Summe einer geometrischen Reihe bestimmen
WernerF
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  Themenstart: 2021-07-24

Hallo, ich habe eine Reihe sum(4^(k-1)/5^(k+1),k=2,n) die habe ich mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz geprüft, jetzt soll die Summe der Reihe bestimmt werden, nun in der Musterlösung steht das dazu die Summenformel der geometrischen Reihe, also 1/1-q verwendet werden soll. Das Ergebnis ist 4/25 und ich komme da einfach nicht drauf, vieleicht kann mir jemand einen Anschucker geben Danke


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, verwende \[\frac{4^{k-1}}{5^{k+1}}=\frac{1}{20}\cdot\frac{4^k}{5^k}=\frac{1}{20}\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^k\] sowie die Tatsache, dass nicht ab \(k=0\) sondern ab \(k=2\) summiert wird. Man muss also im Vergleich zur entsprechenden geometrischen Reihe die ersten beiden Summanden noch subtrahieren. \quoteon(2021-07-24 15:25 - WernerF im Themenstart) ...nun in der Musterlösung steht das dazu die Summenformel der geometrischen Reihe, also 1/1-q verwendet werden soll. \quoteoff Das passt aber nicht zu der Tatsache, dass bis \(n\) summiert werden soll. Die Summe soll sicherlich nicht bis \(k=n\) (wie im Themenstart notiert), sondern bis \(k=\infty\) gebildet werden. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]\(\endgroup\)


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WernerF
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

Danke für die schnelle Hilfe, Frage dazu wie kommst du auf die 1/20 und wie kriegst du die -1 und +1 im exponent weg ?


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, hm, ein wenig selbst rechnen und überlegen solltest du schon auch. Tipp: es ist \(20=5\cdot 4\), \(4^{k-1}=\frac{4^k}{4}\) und \(5^{k+1}=5^k\cdot 5\)... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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WernerF
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

Danke, gut das nächste mal werde ich genauer nachdenken ;-) Klar ich war blind wenn man es aufschreibt ist es einfach


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-24

\quoteon(2021-07-24 16:14 - WernerF in Beitrag No. 4) Danke, gut das nächste mal werde ich genauer nachdenken ;-) Klar ich war blind wenn man es aufschreibt ist es einfach \quoteoff Daher sollte man bei Übunsaufgaben grundsätzlich mit Stift und Papier arbeiten... Gruß, Diophant


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Tetris
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-07-24

\ Ein etwas anderer Weg: sum(4^(k-1)/5^(k+1),k=2,\inf) = sum(4^(i+1)/5^(i+3),i=0,\inf) = 4/5^3*sum((4/5)^i,i=0,\inf) = 4/5^3*1/(1-4/5) = 4/25. Lg, T.


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