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Mathematik » Topologie » Anwendung des Satzes von Riesz
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Beruf Anwendung des Satzes von Riesz
sulky
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  Themenstart: 2021-07-24

Hallo zusammen, Ich habe immer wieder Mühe, die korrekte Anwendung des Satzes von Riesz zu sehen. Theorem: Sei $E$ ein Banachraum und $T\in K(E)$. i) Wenn $E$ von unendlicher Dimension ist, dann $0\in\sigma(T)$. ii) Wenn $\lambda \in \sigma(T)\backslash \{0\}$, dann ist $\lambda$ ein Eigenwert von $T$ und die Dimension von $Kern(\lambda-T)$ ist endlich. iii) Die Menge $\sigma(T)$ ist abzählbar. Wenn Sie unendlich ist kann man seine Elemente die nicht Null sind zu seiner fallenden Folge anreihen $(\lambda_n)_{n\in \mathbb{N}}$ die Betragsmässig gegen Null konvergiert. Beweis: Wenn $T$ umkehrbar ist, dann garantiert uns das Theorem der offenen Abbildungen, dass ein $c>0$ existiert sodass $T(B_E) \supset cB_E$. Was will er damit andeuten, dass er $T(B_E) \supset cB_E$ schreibt anstatt $ cB_E \subset T(B_E) $ ? Wenn ich nichts verpasst habe bedeutet es dassselbe und auch im Theorem der offenen Abbildungen wird das Zeichen $\supset$ nicht verwendet. Nun bin ich verunsichert. Wenn $T(B_E$ relativ kompakt in $E$ ist, existiert dann $F$ kompakt in $E$ sodass $T(B_E)\subset F$ oder $F\subset T(B_E)$? Weiter im Beweis: Wenn $dim(E)$ unendlich ist, dann gilt wegen Riesz dass $T$ nicht kompakt ist. Ich sehe es einfach nicht. Wäre $T$ kompakt, so existiere $F\subset \subset E$ sodass $T(B_E)\subset F$ aber was hat das mit $T(B_E) \supset cB_E$ zu tun? Ich sehe es nicht und brauche Hilfe


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-24

\quoteon(2021-07-24 17:02 - sulky im Themenstart) i) Wenn $E$ von unendlicher Dimension ist, dann $0\in\sigma(T)$. \quoteoff Hier fehlten zwei relevante Buchstaben. \quoteon(2021-07-24 17:02 - sulky im Themenstart) Wenn ich nichts verpasst habe bedeutet es dassselbe \quoteoff Wenn du dir nicht wirklich sicher bist, solltest du es nochmal nachschlagen. \quoteon(2021-07-24 17:02 - sulky im Themenstart) Wäre $T$ kompakt, so existiere $F\subset \subset E$ sodass $T(B_E)\subset F$ aber was hat das mit $T(B_E) \supset cB_E$ zu tun? \quoteoff Beides zusammen liefert dir $cB_E\subset T(B_E)\subset F$. Also wäre die abgeschlossene Einheitskugel kompakt. Das ist sie aber in einem unendlich dimensionalen Raum nicht. --zippy


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sulky
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

Hallo Zippy, Vielen Dank für die schnelle Antwort. Die zwei fehlenden Buchstaben habe ich korrigiert. Also ist jetzt $A\subset B$ und $B\supset A$ dasselbe? Ich wüsste nicht, wie ich das nachschlagen könnte. Nun haben wir $cB_E\subset T(B_E)\subset F$. Leider kann ich noch immer nicht erkennen, weshalb dies bedeutet, dass die abgeschlossene Einheitskugel dann kompakt wäre. Aus $cB_E\subset F$ erkenne ich lediglich dass die offene c-Kugel relativ kompakt ist.


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-24

\quoteon(2021-07-24 20:44 - sulky in Beitrag No. 2) Also ist jetzt $A\subset B$ und $B\supset A$ dasselbe? Ich wüsste nicht, wie ich das nachschlagen könnte. \quoteoff Die Zeichen "$\subset$" und "$\supset$" gehören nicht zu denen, deren Bedeutung nur mündlich und unter dem Siegel der Verschwiegenheit von einer Generation von Mathematikern an die nächste weitergegeben wird. Daher ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass du in deinem Buch oder Skript einen Abschnitt wie den folgenden findest, der alle Zweifel zerstreut: \quoteon(2021-07-24 20:44 - sulky in Beitrag No. 2) Aus $cB_E\subset F$ erkenne ich lediglich dass die offene c-Kugel relativ kompakt ist. \quoteoff Da eine abgeschlossene Kugel der Abschluss der entsprechenden offenen Kugel ist, ist somit die abgeschlossene $c$-Kugel kompakt. Und da für $c>0$ die Abbildung $x\mapsto c^{-1}x$ stetig ist, ist auch die abgeschlossene Einheitskugel kompakt.


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sulky
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

Ich glaube, nun kommt licht ins Dunkle. \quoteon Da eine abgeschlossene Kugel der Abschluss der entsprechenden offenen Kugel ist, ist somit die abgeschlossene $c$-Kugel kompakt. \quoteoff Wegen $cB_E\subset F$ ist $cB_E$ relativ kompakt und realtiv kompakt heisst wiederrum dassselbe, wie dass der Abschluss kompakt ist. Daher $cB_E\subset F\subset \subset E \Rightarrow \overline{cB_E}\subset \subset E$ \quoteon Und da für $c>0$ die Abbildung $x\mapsto c^{-1}x$ stetig ist, ist auch die abgeschlossene Einheitskugel kompakt. \quoteoff Weiter ist die abgeschlossene Einheitskugel das Bild der ageschlossenen c-Kugel unter der Abbildung $x\to c^{-1}x$. UNd weil diese Abbildung stetig ist, bleibt die Kompaktheit erhalten. Kompaktheit der abgeschlossenen Einheitskugel wiederum ist die dritte von vier (version Wikipedia) äquivalenten Aussagen des Satzes von Riesz. Stimmt das so? Falls ja, dann habe ich Dank Dir Zippy -einmal mehr- etwas gelernt, worauf ich selber nicht gekommen wäre.


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-24

\quoteon(2021-07-24 23:15 - sulky in Beitrag No. 4) Stimmt das so? \quoteoff Ja.


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sulky
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-25

Super, vielen Dank Zippy, Aber ich habe gleich nochmals eine Frage. Die Aufgabenstellung dauert sehr lange, aber ich denke, dass ich meine Frage herausziehen kann. Sei $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{C})$ der Raum stetiger Funktionen von $[0,1]$ nach $\mathbb{C}$. Weiter sei $T$ der Operator auf $E$ sodass $T(f)(x)=\int_0^x f(t) dt$ Nun wird gezeigt dass für alle $f\in E$ $\|T(f)\|\le\|f\|$ was beweist dass $T$ stetig ist. Weshalb impliziert $\|T(f)\|\le\|f\|$ die stetigkeit von T?


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-07-25

\quoteon(2021-07-25 01:17 - sulky in Beitrag No. 6) Weshalb impliziert $\|T(f)\|\le\|f\|$ die stetigkeit von T? \quoteoff Ein linearer Operator ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist.


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sulky
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-26

Ja genau, vielen Dank. Ber eine ähliche Aufgabe, auch sehr lange. Um die Stetigkeit der bilinearen Abbildung $f:E\times E \to F$ zu zeigen, zeigt die Musterlösung $\|f(x,y)\|_F\le C \|x\|_E \|y\|_E$. Müsste nicht stattdessen gezeigt werden: $\|f(x,y)\|_F\le C \|(x,y)\|_{E\times E}$ Oder existiert irgend eine Relation, welche mir gerade nicht gegenwärtig ist zwischen $\|\cdot\|_E$ und $\|\cdot\|_{E\times E}$? E ist hier ein Banachraum


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-07-26

\quoteon(2021-07-26 20:26 - sulky in Beitrag No. 8) Müsste nicht stattdessen gezeigt werden: $\|f(x,y)\|_F\le C \|(x,y)\|_{E\times E}$ \quoteoff Nein, es geht ja hier nicht um eine lineare Abbildung $E\times E\to F$, sondern um ein bilineare. Damit $f$ stetig ist, muss beispielsweise $f(u,v_n)\to0$ für ein beliebiges festes $u$ und eine Folge $v_n\to0$ gelten. Aus der Abschätzug $\|f(x,y)\|_F\le C\,\|x\|_E\,\|y\|_E$ der Musterlösung folgt das auch, aus deiner Abschätzung $\|f(x,y)\|_F\le C \|(x,y)\|_{E\times E}$ dagegen nicht. $\|x\|_E\,\|y\|_E$ ist übrigens die Norm von $x\otimes y\in E\otimes E$. Das hängt damit zusammen, dass zu einer bilinearen Abbildung $E\times E\to F$ eine lineare Abbildung $E\otimes E\to F$ gehört.


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sulky
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-27

Ja genau, jetzt sehe ich es auch. Es heisst ja im Satz, dass bei Linearen Abbildungen $\|Tx\|\le C \|x\|$ genügt um die Stetigkeit zu zeigen. Bei dieser AUfgabe habe ich nochmals ein Problem. Es gibt da einen Zusammenhang zwischen $\|Tx\| $ und $\|T\| und \|x\|$ den ich nicht kenne. So vermute ich es jedenfalls. Sei $f:E\times E\to F$ eine separat stetige Abbildung. Somit ist für jedes $y\in E$ die Abbildung $f_y$ stetig. Somit existiert $C_y>0$ sodass $\forall x \in E \|f_y(x)\|_F=\|f(x,y)\|_F\le C_<\|x\|_E$ Ausserdem, immer noch weil f separat stetig ist, für jedes $x\in B_E\subset E$, die lineare abbildung $f_x$ ist stetig. Ausserdem wissen wir von der vorhergehenden UNgleichung dass: $sup_{x\in B_E} \|f_x(y)\|_F=sup_{x\in B_E}\|f(x,y)\|_F\le C_y<\infty$ Weil $E$ ein Banachraum ist und $F$ ein normierter VEktorraum ist, können wir für $(f_x)_{x_in B_E}$ den Satz von Banach anwenden und erhalten: $sup_{x\in B_E} \|f_x\|_{B(E,F)}=C<\infty$ somit haben wir: $\forall x \in B_E \forall y\in E \|f(x,y)\|_F=\|f_x(y)\|_F\le C\|y\|_E$ Diese letzte UNgleichung ging mir zu schnell. $\|f_x(y)\|_F\le C\|y\|_E$ wie man darauf kommt, das habe ich nicht verstanden.


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