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Mathematik » Numerik & Optimierung » Rückwärtsstabilität der direkten LU-Zerlegung
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Universität/Hochschule J Rückwärtsstabilität der direkten LU-Zerlegung
Radix
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  Themenstart: 2021-07-24

Hallo! https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/3460_lemma.JPG ... Den Beweis des Lemmas verstehe ich noch. Im Beweis danach geht es um die Rückwärtsstabilität der direkten LU-Zerlegung. Ich verstehe noch die Herleitung folgender Gleichung: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/3460_lu.JPG Aber wie kommt man auf das 1. Ungleichungszeichen? OK, die \theta werden gemäß Lemma mit den \gamma abgeschätzt. Aber wohin sind die \epsilon verschwunden und wieso geht eine Summe plötzlich bis n statt k-1? Irgendeine Idee zu einem der Terme? Danke, Radix


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-24

Moin Radix, ich gehe davon aus, dass, da es um die LU-Zerlegung geht, $(\hat{l}_{ij})$ bzw. $(\hat{u}_{ij})$ eine untere bzw. obere Dreiecksmatrix ist, wobei erstere nur Einsen auf der Diagonale stehen hat. Dann ist wegen $\hat{l}_{ki} = 0$ für $i > k$ auch \[\sum_{i = 1}^n \hat{l}_{ki} \hat{u}_{ij} = \sum_{i = 1}^k \hat{l}_{ki} \hat{u}_{ij}.\] Ich nehme weiters an, dass im Rahmen des Beweises $\theta_i = \prod_{l=1}^i (1+\epsilon_l)-1$ gilt. Damit hat man dann auch $\theta_{i-1}+(1+\theta_{i-1})\epsilon_i = \theta_i$. Die erste Gleichung aus dem Beweis kann man dann weiters Umschreiben zu \[\hat{l}_{kk} \hat{u}_{kj} + \hat{u}_{kj} \theta_{k-1} = \hat{u}_{kj}(1 + \theta_{k-1}) = a_{kj} - \sum_{i = 1}^{k-1} \hat{l}_{ki} \hat{u}_{ij} (1+\theta_{i-1})(1+\epsilon_i) = a_{kj} - \sum_{i = 1}^{k-1} \hat{l}_{ki} \hat{u}_{ij} - \sum_{i = 1}^{k-1} \hat{l}_{ki} \hat{u}_{ij}(\theta_{i-1}+(1+\theta_{i-1})\epsilon_i) = a_{kj} - \sum_{i = 1}^{k-1} \hat{l}_{ki} \hat{u}_{ij} - \sum_{i = 1}^{k-1} \hat{l}_{ki} \hat{u}_{ij}\theta_i.\] Daraus erhält man dann durch Umordnen \[a_{kj} - \sum_{i = 1}^n \hat{l}_{ki} \hat{u}_{ij} = \hat{u}_{kj} \theta_{k-1} + \sum_{i = 1}^{k-1} \hat{l}_{ki} \hat{u}_{ij}\theta_i,\] was wieder mit $\hat{l}_{kk} = 1$ und $\hat{l}_{ki} = 0$ für $i > k$ sowie der Monotonie der $\gamma_i$ die Ungleichungen implizieren sollte. LG, semasch


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Radix
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

Da bin ich jetzt wirklich mal sprachlos. Ich hatte ja schon große Mühe, das nur nachzuvollziehen, aber auf alle diese fiesen Tricks wäre ich nie gekommen. Vielen Dank, Radix


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Radix hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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