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Analysis » Funktionalanalysis » beschränkte Folge in L^1
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Universität/Hochschule beschränkte Folge in L^1
CCraizarCC
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  Themenstart: 2021-07-26

Sei $u\in L^2(B)$ fix mit $B$ Einheitsball in $\mathbb{R}^N$. Sei nun $(u_n)_n\subset L^1(B)$ eine Folge, sodass $sup \{ \|u-u_n\|_{L^2(B)}\}<\infty$. Ist die Folge $(u_n)_n$ beschränkt in $L^1(B)$? Meine Idee ist dann $| \|u_n\|_{L^2(B)}-\|u\|_{L^2(B)}|\leq \|u-u_n\|_{L^2(B)}<\infty$ und da $u\in L^2(B)$ und aus Hölder ungleichung folgt damit die Behauptung.


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, löse doch mal ein einfacher zu formulierendes (äquivalentes) Problem: Finde eine Folge \( (u_n)\), die in der \( L_2\)-Norm beschränkt ist und deren \( L_1\)-Norm divergiert. Tipp: Wähle \( u_n\) als Summe von passenden Vielfachen von charakteristischen Funktionen der Intervalle \( [n.n+1]\). Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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CCraizarCC
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-26

Ich habe eine kleine Frage zu meine Lösung bzw. zu dein Lösung. Mein Gebiet $B$ ist beschränkt, und für $u_n\in L^1(B)$ gilt nach Hölder ungleichung $\|u_n\|_{L^1(B)}\leq \sqrt{vol(B)} \cdot \|u_n\|_{L^2(B)}\leq C\cdot M$, das gilt für alle $n\in\mathbb{N}$. Wobei $M$ ist die Konstante, sodass $\|u_n\|_{L^2(B)}\leq M$ für alle $n$. Da weiß ich dann nicht, iwe man dann so eine folge wie bei dir finden kann.


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