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Universität/Hochschule J Es gibt nur eine zweielementige Gruppe
OliverFuchs
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  Themenstart: 2021-07-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\al}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\bs}{\backslash} \newcommand{\ga}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\ep}{\varepsilon} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\et}{\eta} \newcommand{\io}{\iota} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\rh}{\rho} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\ta}{\tau} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\ch}{\chi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\Ga}{\Gamma} \newcommand{\De}{\Delta} \newcommand{\Th}{\Theta} \newcommand{\La}{\Lambda} \newcommand{\Si}{\Sigma} \newcommand{\Ph}{\Phi} \newcommand{\Ps}{\Psi} \newcommand{\Om}{\Omega} \newcommand{\NN}{\mathbb N} \newcommand{\ZZ}{\mathbb Z} \newcommand{\QQ}{\mathbb Q} \newcommand{\RR}{\mathbb R} \newcommand{\CC}{\mathbb C} \newcommand{\HH}{\mathbb H} \newcommand{\DD}{\mathbb D} \newcommand{\TT}{\mathbb T} \newcommand{\KK}{{\mathbb K}} \newcommand{\oo}{{\infty}} \newcommand{\PP}{\mathbb P} \newcommand{\BB}{\mathbb B} \newcommand{\MM}{\mathbb M} \newcommand{\alt}{\operatorname{alt}} \newcommand{\dom}{\operatorname{Dom}} \newcommand{\ceil}{\operatorname{ceil}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \newcommand{\ev}{\operatorname{ev}} \newcommand{\floor}{\operatorname{floor}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\incl}{\operatorname{incl}} \newcommand{\kgV}{\operatorname{kgV}} \newcommand{\li}{\operatorname{li}} \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} \newcommand{\ptp}{\operatorname{ptp}} \newcommand{\rang}{\operatorname{rang}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\sym}{\operatorname{sym}} \newcommand{\trg}{\operatorname{Trg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\card}{\operatorname{card}} \newcommand{\R}{\Rightarrow} \newcommand{\L}{\Leftarrow} \newcommand{\gdw}{\Leftrightarrow} \) Hallo, Ich habe in der Steop die Bemerkung gefunden, dass es nur eine Gruppe mit zwei Elementen gibt. Das habe ich, wie folgt, nachgeprüft. Aber da muss ein Fehler drinnen stecken, den ich nicht sehe, weil ich auf zwei Gruppen stoße. Wenn mir da jemand helfen kann wäre es toll. Danke. Ich möchte mir jetzt einmal eigene Gedanken darüber machen, wie eine zweielementige Gruppe aussehen kann. Dazu nehme ich als Grundmenge die Menge $G=\{0,1\}$ her, wie auch Steinbauer im Buch. (Ich hätte auch $G=\{J,N\}$ oder $G=\{a,b\}$ nehmen können, um den Bereich der Zahlen zu verlassen, aber wozu?. Denn abgesehen von der Namensgebung der Elemente, finde ich immer die selbe Situation vor). Als nächstes muss ich eine innere Verknüpfung auf der Menge $G$ definieren. Wenn man nicht nachdenkt kann man ja annehmen dass es da verschieden Möglichkeiten geben sollte. Ich muss nur eine bestimmte angeben. Will man aber die Allgemeinheit der Situation betrachten, dann möchte man wissen wie alle Verknüpfungen auf einer zweielementigen Menge aussehen. Da aber in Punkt (ii) der Bemerkung angemerkt wurde, dass jede Verknüpfung genau einer bestimmten Cayley Tabelle entspricht ist die Frage nach den möglichen Verknüpfungen gleichbedeutend mit der Frage nach den möglichen Cayley Tabellen. Die letzter Frage ist aber konkreter handhabbar. Die möglichen Cayley Tabellen sind. Tabelle 1: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&0&0\\ 1&0&0\\ \end{tabular} \end{table}$ Tabelle 2: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&1&0\\ 1&0&0\\ \end{tabular} \end{table}$ Tabelle 3: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&0&1\\ 1&0&0\\ \end{tabular} \end{table}$ Tabelle 4: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&1&1\\ 1&0&0\\ \end{tabular} \end{table}$ Tabelle 5: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&0&0\\ 1&1&0\\ \end{tabular} \end{table}$ Tabelle 6: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&1&0\\ 1&1&0\\ \end{tabular} \end{table}$ Tabelle 7: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&0&1\\ 1&1&0\\ \end{tabular}\\ \end{table}$ Tabelle 8: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&1&1\\ 1&1&0\\ \end{tabular}\\ \end{table}$ Tabelle 9: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&0&0\\ 1&0&1\\ \end{tabular} \end{table}$ Tabelle 10: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&1&0\\ 1&0&1\\ \end{tabular} \end{table}$ Tabelle 11: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&1&1\\ 1&0&1\\ \end{tabular} \end{table}$ Tabelle 12: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&1&1\\ 1&0&1\\ \end{tabular} \end{table}$ Tabelle 13: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&0&0\\ 1&1&1\\ \end{tabular} \end{table}$ Tabelle 14: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&1&0\\ 1&1&1\\ \end{tabular} \end{table}$ Tabelle 15: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&0&1\\ 1&1&1\\ \end{tabular} \end{table}$ Tabelle 16: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&1&1\\ 1&1&1\\ \end{tabular}\\ \end{table}$ Da die Cayley Tabelle für zwei Elemente vier freie Plätze hat, die mit je zwei Elementen zu besetzen sind, entsprechen die Möglichkeiten der Binärzahl mit vier Stellen. Da gibt es also $2^4=16$ Binärzahlen und damit auch $16$ Cayley Tabellen. Warum behauptet aber Steinbauer, dass es nur eine zweielementige Gruppe gibt? Das kann nur den Grund haben, dass nicht jede er möglichen Cayley Tabellen und damit nicht jeder der möglichen Verknüpfungen ein Gruppe ergibt. Und genau das werde ich mir jetzt ansehen. Die drei Eigenschaften die $(G,\circ)$ eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung zu einer Gruppe macht sind die Assoziativität der Verknüpfung, die Tatsache, dass es ein neutrales Element gibt und schließlich die Tatsache dass jedes Element ein Inverses Element besitzt. Der Einfachheit halber, fange ich mit dem neutralen Element an. Damit $(G,\circ)$ eine Gruppe ist, muss es ein solches geben. Das $G$ nur die Elemente $0$ und $1$ besitzt so kann es wohl nur eines der beiden sein. Ich möchte im ersten Anlauf auf die sich aufdrängende Überlegung, dass es aus Symmetriegründen egal ist welches Element ich als neutrales auszeichne, verzichten. Wenn ich das aber tue, so bleibt mir nichts anders über als eine Fallunterscheidung zu machen. 1. Fall: $0$ ist das neutrale Element. In diesem Fall muss jede Verknüpfung dieses Elementes mit einem andern Element der Gruppe dieses andere Element ergeben. Auf diese Eigenschaft hin untersuche ich nun die Cayley Tabellen. Ich werde nun die Tabellen 1-8 explizit darauf hin untersuchen, ob die mit diesen Verknüpfungen definierte Operation $+$ $0$ als neutrales Element hat. Tabelle 1: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&0&0\\ 1&0&0\\ \end{tabular} \end{table}$ Da laut dieser Tabelle $0+1=0$ ist, kann $0$ nicht das neutrale Element der additiv geschriebenen Verknüpfung sein. Es müsste dann nämlich $0+1=1$ gelten. . Tabelle 2: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&1&0\\ 1&0&0\\ \end{tabular} \end{table}$ . Da laut dieser Tabelle $0+0=1$ ist wäre auch hier $0$ nicht als neutrales Element geeignet. Tabelle 3: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&0&1\\ 1&0&0\\ \end{tabular} \end{table}$ . Da laut dieser Tabelle $1+0=0$ ist, scheidet auch diese aus. . Tabelle 4: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&1&1\\ 1&0&0\\ \end{tabular} \end{table}$ . Hier führt wieder die Rechnung $0+0=1$ zum Ausscheiden der Tabelle. . Tabelle 5: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&0&0\\ 1&1&0\\ \end{tabular} \end{table}$ Hier ist es $0+1=0$ was die Tabelle als ungeeignet ausscheiden lässt. . Tabelle 6: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&1&0\\ 1&1&0\\ \end{tabular} \end{table}$ Hier haben wir wieder $0+0=1$ als Ausscheidungsgrund für diese Tabelle. . Tabelle 7: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&0&1\\ 1&1&0\\ \end{tabular} \end{table}$ In dieser Tabelle haben wir die Rechnungen $0+0=0$ $0+1=1$ $1+0=1$ Das sind alle Rechnungen an denen unsere $0$ beteiligt ist und diese sind mit der Annahme, dass $0$ das neutrale Element ist verträglich. . Tabelle 8: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&1&1\\ 1&1&0\\ \end{tabular} \end{table}$ Laut dieser Tabelle würde wieder $0+0=1$ gelten, was wieder mit der Annahme, dass $0$ das neutrale Element ist, nicht vereinbar ist. Jetzt habe ich die Tabellen 1-8 genau untersucht. Bei den Tabellen 9-16 möchte ich mir das ersparen. Hier führe ich das, zuvor hinten an gehaltene, Symmetrieargument ins treffen. Danach muss es in diesen zweiten acht Tabellen wieder genau eine geben in der $0$ das neutrale Element ist. Es ist dies die Tabelle 15. . Tabelle 15: $\begin{table} \begin{tabular}{c|cc} + &0&1\\ \hline 0&0&1\\ 1&1&1\\ \end{tabular} \end{table}$ Die in Frage kommenden Rechnungen sind, $0+0=0$ $0+1=1$ $1+0=1$ Diese sind wieder alle Rechnungen wo die $0$ vorkommt und mit der Annahme, $0$ sei das neutrale Element, verträglich. Der Unterschied zwischen Tabelle 7 und 15 liegt in der letzten Rechnung. Tabelle 7:$1+1=0$ Tabelle 15: $1+1=1$ Für die Tabellen 9-14 und 16 läuft die Ablehnung genau so wie für die Tabellen in der ersten Hälfte. Damit sind die Tabellen 7,15 die einzigen Cayley Tabellen, in denen die $0$ das neutrale Element der Addition wäre. Die anderen scheiden aus. Nun sehen wir uns die Verknüpfung in Hinblick auf die Inversen Element an. Das wir nur die zwei Elemente $0,1$ haben, brauchen wir nur nachprüfen ob diese in den verbleibenden zwei Tabellen ein Inverses Element haben. Betrachten wir zuerst die $0$ und die Tabelle 7: $0+0=0$ und $0+1=1=1+0$. Also ist $0$ das Inverse Element zu $0$ und es ist eindeutig bestimmt, wie es sich gehört. Man sagt $0$ ist selbst invers. Jetzt sehen wir uns $1$ und die Tabelle 7: $1+1=0$ und $0+1=1=1+0$. Also ist $1$ das Inverse Element zu $1$ und es wieder, wie es sich gehört, eindeutig bestimmt. $1$ ist selbst invers. Damit erfüllt die Tabelle 7 sowohl die Existenz eines neutralen Elementes und sie hat auch alle nötigen Inversen. Nun komme ich zum Assoziativgesetz. Ich nehme nun an, dass dieses nur bei einer der beiden Tabellen erfüllt sein wird. Wir werden sehen. Das Assoziativgesetz hat die Form : $(a+b)+c=a+(b+c)$ für $a,b,c \in G$. Nun hat unser $G$ nur die zwei Elemente $0$ und $1$. Damit ist es aber möglich alle möglichen Rechnungen für das Assoziativgesetz explizit nach zu rechnen. Das sind dann $2^3=8$ Rechnungen. Das ist noch machbar. Ich beginne als damit für die Tabelle 7. 1: $(0+0)+0=0+0=0+(0+0)$ 2: $(0+0)+1=0+1=0+(0+1)$ 3: $(0+1)+0=1+0=(1+0)=0+(1+0)$ 4: $(0+1)+1=1+1=0=0+0=0+(1+1)$ 5: $(1+0)+0=1+0=1+(0+0)$ 6: $(1+0)+1=1+1=1+(0+1)$ 7: $(1+1)+0=0+0=0=1+1=1+(1+0)$ 8: $(1+1)+1=0+1=1=1+0=1+(1+1)$ Somit ist bei der durch die Tabelle 7 definierten Verknüpfung das Assoziativgesetz erfüllt. . Ich beginne als damit für die Tabelle 15. 1:$(0+0)+0=0+0=0+(0+0)$ 2:$(0+0)+1=0+1=0+(0+1)$ 3:$(0+1)+0=1+0=(1+0)=0+(1+0)$ 4:$(0+1)+1=1+1=1=0+1=0+(1+1)$ 5:$(1+0)+0=1+0=1+(0+0)$ 6:$(1+0)+1=1+1=1+(0+1)$ 7:$(1+1)+0=1+0=1=1+1=1+(1+0)$ 8:$(1+1)+1=1+1=1=1+1=1+(1+1)$ Somit ist bei der durch die Tabelle 15 definierten Verknüpfung das Assoziativgesetz erfüllt. Somit hätte ich aber zwei mögliche Verknüpfungen die $(G,0)$ zu einer Gruppe machen. Nun kann man ja in den bisherigen Überlegungen einfach eine Umbenennung machen. Man kann Das Element $0$ mit $1$ benennen und das Element $1$ mit $0$. Dann würden wir $(G,1)$ betrachten, also jetzt $1$ als neutrales Element annehmen. Aus Symmetriegründen würden hier wieder zwei Verknüpfungen eine Gruppe ergeben. Wenn aber meine Überlegungen bis hier her stimmen, dann hätten wir vier mögliche Einelementige Gruppen. Wenn man aber zurecht sagt, dass immer eine aus der andern rein durch Umbenennung der Elemente hervor geht, dann sind ja die beiden aus einander hervorgehenden Gruppen in Wirklichkeit, bis auf Namensgebung, ein und die selbe Gruppe. Dann bleiben aber immer noch zwei mögliche Gruppen über und nicht eine, wie behauptet. \(\endgroup\)


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ligning
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-27

Wenn ich in diesem langen Text nichts übersehen habe, hast du nicht geprüft, ob in Tabelle 15 jedes Element ein Inverses hat. Tipp, wie man es einfacher sehen kann: Anstatt erst jede Menge Tabellen zu generieren und dann alle auszusondern, die irgendwelchen Kriterien nicht genügen, ist es besser, von vornherein anhand dieser Kriterien passende Tabellen zu konstruieren. Wenn bspw. 0 das neutrale Element sein soll, sind die jeweils zu 0 gehörende Spalte bzw. Zeile schon bestimmt: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, es bleibt nur noch 1+1 festzulegen. Aus der Forderung nach einem Inversen folgt nun direkt, dass 1+1=0 sein muss (man kann sich überlegen, dass in jeder Zeile und Spalte jedes Element genau einmal aufgeführt werden muss, d.h. eine Gruppentafel ist ein lateinisches Quadrat.) [Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von ligning]


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OliverFuchs
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-27

Liber Ligning, Bingo das ist es, genau das ist der springende Punkt. Das habe ich übersehen. Danke. lg Oliver🙂


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helmetzer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-27

Notwendig, aber nicht hinreichend für Gruppentafel: In jeder Zeile und in jeder Spalte kommt jedes Element genau einmal vor.


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OliverFuchs
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-29

Lieber Ligning, Das mit den Tabellen habe ich absichtlich gemacht. Normalerweise gehe ich auch von den Kriterien aus um die Arbeit zu reduzieren. Ich verliere dann aber manchmal den Überblick ob ich wirklich alles berücksichtigt habe. Daher habe ich diesmal diesen mühsamen Weg gewählt weil ich mal schauen wollte wie das ist. Es ist ja der sicherer Weg um nichts zu übersehen. (Wie man sieht kann man aber auch da was übersehen) Aber danke für den Hinweis. lg Oliver😃


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