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Universität/Hochschule Gauß-Prozess zeigen
haro21
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  Themenstart: 2021-07-27

Hallo alle zusammen, ich möchte gerne zeigen, dass $ f(x)=x^{\top}w $ ein Gaußprozess ist. Es ist $ x=(x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^{n}$und $w=(w_1,...,w_n) $, wobei $ w_{i} \sim \mathcal{N}(0,\sigma^{2}) $. Wie kann ich hierbei vorgehen? Meine Idee: Ich habe einfach mal die Erwartungswertfunktion und Kovarianzfunktion ausgerechnet $ m(x)= E[ f(x) ]=E[ x^{\top}w]=x^{\top}E[w]=0 $. Es ist $ E[w]=0 [/latex], da [latex] w_{i} \sim \mathcal{N}(0,\sigma^{2}) $ gilt, ist auch die gemeinsame Verteilung w normalverteilt mit $w \sim \mathcal{N}( 0, \Sigma_{P}) $. $ k(x,x')=E[f(x)f(x')]=E[ x^{\top}w (x')^{\top}w]= E[ x^{\top}w w^{\top}x'] =x^{\top}E[ww^{\top}]x'=x^{\top}\Sigma_{p}x'$ Habe ich so gezeigt, dass es sich bei f(x) um einen Gauß-Prozess handelt? Ich glaube noch nicht ganz :(


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-07

Huhu haro21, Du müsstest hier eigentlich nachweisen, dass für alle endlichen $d$ und $x_1, \ldots, x_d \in \mathbb{R}^n$ die Zufallsvariable $Z = (f(x_1), \ldots, f(x_d))$ normalverteilt ist. Das ist aber aufgrund der Linearität des Skalarproduktes klar. lg, AK


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