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Lineare Algebra » Eigenwerte » φ ist ein Endomorphismus mit φ^3 - 3φ^2 = -2φ ⇒ φ ist diagonalisierbar
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Universität/Hochschule φ ist ein Endomorphismus mit φ^3 - 3φ^2 = -2φ ⇒ φ ist diagonalisierbar
Max1338
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  Themenstart: 2021-08-05

Guten Mittag, ich sitze gerade an folgender Aufgabe: \[ \text{Sei }V\text{ ein endlich-dimensionaler } \mathbb{R} \text{-Vektorraum und } \varphi\text{ ein Endomorphismus von }V\text{ für den gilt } \\ \varphi^3-3\varphi^2=-2\varphi.\\ \text{Zeigen Sie, dass } \varphi\text{ diagonalisierbar ist.} \] Dies sollte wie folgt gehen: \[ \varphi^3-3\varphi^2=-2\varphi \Leftrightarrow \varphi^3-3\varphi^2 + 2 \varphi = 0\\ \text{d.h } \exists f \in R[X] \text{ mit } f = X^3-3X^2+2X \text{ und } f(\varphi) = 0\\ \text{nach Cayley-Hamilton gilt } \mu_\varphi \mid f.\\ \text{Es genügt also z.Z das f vollst. in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt.}\\ X^3-3X^2+2X = X \cdot (X^2-3X+2) = X \dot (X-2) \cdot (X-1) \\ \Rightarrow f \text{ zerfällt vollst. in paarweise verschiedene Linearfaktoren} \Rightarrow \mu_\varphi \text{ zerfällt vollst. in paarweise verschiedene Linearfaktoren} \Rightarrow \varphi\text{ ist diagonalisierbar} \] Ist das so ok oder sollte ich etwas anpassen ? Vielen Dank. Grüße Max


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-05

Hallo, das sollte so passen. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Eigenwerte' von Diophant]


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Nuramon
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Mitteilungen: 3009
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-08-05

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, im Prinzip richtig, aber zwei Anmerkungen: - Die Formulierung "$\text{d.h } \exists f \in R[X] \text{ mit } f = X^3-3X^2+2X \text{ und } f(\varphi) = 0$" ist eigenartig. Änderungsvorschlag: D.h. für das Polynom $f=X^3-3X^2+2X\in \IR[X]$ gilt $f(\varphi)=0$. - Mit Cayley-Hamilton hat $\mu_\phi\mid f$ nichts zu tun. Man braucht hier nur die Definition des Minimalpolynoms.\(\endgroup\)


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Max1338
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-05

Danke für die schnelle Rückmeldung euch beiden. Den Vorschlag von dir werde ich mir zuherzen nehmen. Bei CH ist es dann wohl mein Fehler, bei uns im Skript steht: \[ \mu_\varphi \text{ heißt das Minimalpolynom von } \varphi. \text{Das Minimalpolynom von } A \text{ ist definiert als } \mu_A.\\ \text{Es gilt:}\\ (i) \mu_\varphi \mid \chi_\varphi \\ (ii) \mu_A \mid \chi_A\\ \text{Dies folgt aus dem Satz von Cayley-Hamilton} \] Daher auch meine Anmerkung.


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ligning
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-08-05

Der Satz von Cayley-Hamilton sagt aus, dass $\chi_A(A)=0$. Die Argumentation im Script ist also richtig, und deine Anmerkung nicht.


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Max1338 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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