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Topologie » Mengentheoretische Topologie » Offene Menge und ε-Kugel
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Universität/Hochschule J Offene Menge und ε-Kugel
subzer0
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  Themenstart: 2021-08-05

Hallo! Ich habe ein Buch zu Verständnisaufgaben der Analysis und habe eine Frage. Aufgabe: Welche der folgenden Mengen ist in (R^2, d2) nicht offen? d2 ist die euklid. Metrik. \ 1) B_1(0)=menge(x \el\ \IR^2 | d_2(x,0)<1) 2) (0,1)^2 3) menge((x,y) \el\ \IR^2| x^2+y^2 <=1) 4) menge((x,y) \el\ \IR^2| x^2+y^2 <1) Ich verstehe das, aber in der Lösung wird gesagt, dass die Menge in 4) dieselbe ist wie in 1), also die 1-Kugel um 0 ist. Wie kann das sein mit der euklid. Metrik, die eine Wurzel zieht? Danke.


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, das ist etwas unglücklich notiert. Denn das x vor dem senkrechten Strich ist in beiden Fällen ein Element des \(\IR^2\), während in der Definition der Menge 4) im hinteren Teil dann plötzlich das vordere x mit dem Vektor \((x,y)^T\in\IR^2\) identifiziert wird. Im Prinzip steht da also \(|x|=\left|\bpm x\\y \epm \right|<1\). Und das ist wie gesagt ziemlich verunglückt. Wird es dadurch klarer? Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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subzer0
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-05

\quoteon(2021-08-05 20:05 - Diophant in Beitrag No. 1) Hallo, das ist etwas unglücklich notiert. Denn das x vor dem senkrechten Strich ist in beiden Fällen ein Element des \(\IR^2\), während in der Definition der Menge 4) im hinteren Teil dann plötzlich das vordere x mit dem Vektor \((x,y)^T\in\IR^2\) identifiziert wird. Im Prinzip steht da also \(|x|=\left|\bpm x\\y \epm \right|<1\). Und das ist wie gesagt ziemlich verunglückt. Wird es dadurch klarer? Gruß, Diophant \quoteoff Hi Du hast Recht, ich habe es korrigiert. Kannst Du mir dazu helfen?


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, ich helfe dir gerne, aber ich verstehe das Problem noch nicht so ganz. 😉 Fehlt dir einfach die Wurzel in den Definitionen der Mengen 3 u. 4? Es ist bspw. \(x^2+y^2<1\ \Leftrightarrow\ \sqrt{x^2+y^2}<1\). Und \(d_2(a,b)=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\) ist die (euklidische) Abstandsfunktion. \(d_2(x,0)\) ist dann einfach der Abstand des Punktes \(x\in\IR^2\) vom Nullpunkt. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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subzer0
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-05

\quoteon(2021-08-05 20:29 - Diophant in Beitrag No. 3) Hallo, ich helfe dir gerne, aber ich verstehe das Problem noch nicht so ganz. 😉 Fehlt dir einfach die Wurzel in den Definitionen der Mengen 3 u. 4? Es ist bspw. \(x^2+y^2<1\ \Leftrightarrow\ \sqrt{x^2+y^2}<1\). Und \(d_2(a,b)=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\) ist die (euklidische) Abstandsfunktion. \(d_2(x,0)\) ist dann einfach der Abstand des Punktes \(x\in\IR^2\) vom Nullpunkt. Gruß, Diophant \quoteoff Hallo und danke Diphant! Ja, das macht es klarer, die Äquivalenz. Jetzt verstehe ich es.


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