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 franz. Eisenbahnmetrik, induzierte Metrik |
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subzer0
Junior 
Dabei seit: 03.05.2021
Mitteilungen: 15
 |  Themenstart: 2021-08-06
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Hi!
Ich habe eine Aufgabe zur franz Metrik und induzierten Metrik.
Ich bitte um Kontrolle. Es müsste eigentlich stimmen. Ich habe es direkt ohne Falunterscheidungen gelöst.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54585_franzMetrik-induziert.png
Zu Aufgabe b):
Was bedeutet in diesem Sinne durch Norm induziert, falsche Richtung?
wenn man ne Norm hat dann automatisch auch eine Metrik. wegen der Implikation oben, also was genau hat es mit durch Norm induzierte Metrik auf sich? Ich befinde mich in einem Vektorraum (R^n). Wieso sollte die franz. Metrik nicht durch eine Norm induziert werden? Das widerspräche doch der folgenden Implikation?
norm Vektorraum R => metrischer Raum
Umkehrung gilt i.A. nicht
Danke!
edit:
\quoteon()
Die französische Eisenbahnmetrik ist ein beliebtes Übungsbeispiel für eine nicht durch eine Norm induzierte Metrik. Sie wird unter Bezugnahme auf einen ausgezeichneten Punkt {\displaystyle P}P („Paris“) wie folgt definiert: Der Abstand zweier verschiedener Punkte, deren Verbindungsgerade durch {\displaystyle P}P verläuft, ist ihr Abstand unter der gewöhnlichen euklidischen Metrik.
\quoteoff
Der letzte Satz hier besagt, dass |x-y| die euklid Metrik ist, das ist doch falsch!?
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
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Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-06
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Hallo subzer0,
beim Nachweis der Dreiecksungleichung hast du geschlampt. Für \(x,y,z\in\IR^n\) musst du nachweisen, dass \(d(x,y)\leq d(x,y)+d(y,z)\). Hier müssen diverse Fälle unterschieden werden. Nämlich, dass keine, zwei oder drei der Punkte x, y und z auf einer gemeinsamen Geraden durch den Nullpunkt liegen.
Grüße
StrgAltEntf
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-08-06
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\quoteon(2021-08-06 23:04 - subzer0 im Themenstart)
wenn man ne Norm hat dann automatisch auch eine Metrik.
\quoteoff
Richtig. Und diese Metrik nennt man "durch die Norm induziert". Aber nicht jede Metrik auf einem Vektorraum hat diese Eigenschaft.
\quoteon(2021-08-06 23:04 - subzer0 im Themenstart)
Wieso sollte die franz. Metrik nicht durch eine Norm induziert werden?
\quoteoff
Dir das zu überlegen ist genau die Aufgabe.
\quoteon(2021-08-06 23:04 - subzer0 im Themenstart)
Der letzte Satz hier besagt, dass |x-y| die euklid Metrik ist, das ist doch falsch!?
\quoteoff
Es geht hier um den Spezialfall, dass die beiden Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung liegen. Und in diesem Fall ist nach Definition deren Abstand gleich dem Abstand bezüglich der euklidischen Metrik.
--zippy
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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nzimme10
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-07
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
ich wollte noch eine Ergänzung zu den vorherigen Beiträgen geben. Die genaue Aussage ist eigentlich
$\textbf{Satz.}$ Sei $(V,\lVert\cdot\rVert)$ ein normierter Vektorraum. Dann ist $(V,d)$ mit $d(x,y):=\lVert x-y\rVert$ ein metrischer Raum.
Die Aussage ist also, dass man durch eine Norm stets eine Metrik erhält. Jedoch gibt es im Allgemeinen viele verschiedene Metriken. Du kannst dir überlegen, dass z.B. die diskrete Metrik ($d(x,y)=1$ für $x\neq y$ und $0$ sonst) auch nicht von einer Norm induziert wird.
[Ähnlich verhält es sich übrigens auch mit Normen. Wenn man ein Skalarprodukt hat, dann wird durch dieses auch immer eine Norm induziert. Umgekehrt muss aber nicht jede Norm von einem Skalarprodukt kommen. Wiederum ähnlich verhält es sich mit einer Topologie. Jede Metrik induziert eine Topologie, aber nicht jede Topologie ist metrisierbar (kommt von einer Metrik).]
LG Nico\(\endgroup\)
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subzer0
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-07
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Vielen Dank für die kompetenten und zahlreichen Antworten.
\quoteon(2021-08-06 23:31 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1)
Hallo subzer0,
beim Nachweis der Dreiecksungleichung hast du geschlampt. Für \(x,y,z\in\IR^n\) musst du nachweisen, dass \(d(x,y)\leq d(x,y)+d(y,z)\). Hier müssen diverse Fälle unterschieden werden. Nämlich, dass keine, zwei oder drei der Punkte x, y und z auf einer gemeinsamen Geraden durch den Nullpunkt liegen.
Grüße
StrgAltEntf
\quoteoff
Ich verstehe nicht, wozu eine Fallunterscheidung, ich bin doch direkt der Definition der Franz. Metrik gefolgt, die Fallunterscheidung findet da innerhalb der klammern automatisch statt. Ich bin den Beträgen im \ \IR^n gefolgt. Stehe auf dem Schlauch.
\quoteon(2021-08-06 23:36 - zippy in Beitrag No. 2)
\quoteon(2021-08-06 23:04 - subzer0 im Themenstart)
wenn man ne Norm hat dann automatisch auch eine Metrik.
\quoteoff
Richtig. Und diese Metrik nennt man "durch die Norm induziert". Aber nicht jede Metrik auf einem Vektorraum hat diese Eigenschaft.
\quoteoff
Ok, was ich bisher verstehe ist: (alles korrekt?)
1)Wenn wir einen normierten Vektorraum haben, dann gibt es mindestens eine Norm, i.A. sogar mehrere Normen.
Durch jede dieser Norman kann man eine Metrik gewinnen/herleiten, indem man \(\Vert x-y\Vert=:d(x,y)\) setzt.
2) Es gibt i.A. (oder immer?) mehr Metriken als Normen in einem normierten Vektorraum. Es gibt insbesondere solche Metriken, wie die franz. Metrik, die nicht durch eine vorhanden Norm hergeleitet/gewonnen werden können.
3)Kann man auch Metriken aus Normen gewinnen, wenn man eine andere Rechenvorschrift wählt als \(\Vert x-y\Vert\)?
\quoteon(2021-08-06 23:04 - subzer0 im Themenstart)
Der letzte Satz hier besagt, dass |x-y| die euklid Metrik ist, das ist doch falsch!?
\quoteoff
\quoteon(2021-08-06 23:36 - zippy in Beitrag No. 2)
Es geht hier um den Spezialfall, dass die beiden Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung liegen. Und in diesem Fall ist nach Definition deren Abstand gleich dem Abstand bezüglich der euklidischen Metrik.
\quoteoff
--zippy
Aber das gilt doch nur im \ \IR^1
Gibt es hier im Forum eine angenehme Methode zum Zitieren oder krieg ich das nicht hin?
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-07
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\quoteon(2021-08-07 18:45 - subzer0 in Beitrag No. 4)
\quoteon(2021-08-06 23:31 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1)
beim Nachweis der Dreiecksungleichung hast du geschlampt. Für \(x,y,z\in\IR^n\) musst du nachweisen, dass \(d(x,y)\leq d(x,y)+d(y,z)\). Hier müssen diverse Fälle unterschieden werden. Nämlich, dass keine, zwei oder drei der Punkte x, y und z auf einer gemeinsamen Geraden durch den Nullpunkt liegen.
\quoteoff
Ich verstehe nicht, wozu eine Fallunterscheidung, ich bin doch direkt der Definition der Franz. Metrik gefolgt, die Fallunterscheidung findet da innerhalb der klammern automatisch statt. Ich bin den Beträgen im \ \IR^n gefolgt. Stehe auf dem Schlauch.
\quoteoff
Oben hast du die Fälle betrachtet, dass x, y und x, z und y, z jeweils auf einer gemeinsamen Geraden durch 0 liegen. Unten hast du die Fälle betrachtet, dass x, y und x, z und y, z jeweils NICHT auf einer gemeinsamen Geraden durch 0 liegen.
Aber es könnte ja beispielsweise sein, dass x und y auf einer gemeinsamen Geraden durch 0 liegen, während x, z und y, z jeweils nicht auf einer Gemeinsamen Geraden durch 0 liegen.
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-08-07
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\quoteon(2021-08-07 18:45 - subzer0 in Beitrag No. 4)
\quoteon(2021-08-06 23:36 - zippy in Beitrag No. 2)
Es geht hier um den Spezialfall, dass die beiden Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung liegen. Und in diesem Fall ist nach Definition deren Abstand gleich dem Abstand bezüglich der euklidischen Metrik.
\quoteoff
Aber das gilt doch nur im \ \IR^1
\quoteoff
Warum sollte das nur im $\mathbb R^1$ gelten? Kommst du auf diese Idee, weil in der Aufgabe die euklidische Norm als $|\cdot|$ geschrieben wird?
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subzer0
Junior 
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-08
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\quoteon(2021-08-07 22:32 - zippy in Beitrag No. 6)
\quoteon(2021-08-07 18:45 - subzer0 in Beitrag No. 4)
\quoteon(2021-08-06 23:36 - zippy in Beitrag No. 2)
Es geht hier um den Spezialfall, dass die beiden Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung liegen. Und in diesem Fall ist nach Definition deren Abstand gleich dem Abstand bezüglich der euklidischen Metrik.
\quoteoff
Aber das gilt doch nur im \ \IR^1
\quoteoff
Warum sollte das nur im $\mathbb R^1$ gelten? Kommst du auf diese Idee, weil in der Aufgabe die euklidische Norm als $|\cdot|$ geschrieben wird?
\quoteoff
Hallo,
ja ich glaube, das ist es. Es ist wohl gewöhnlich, dass man Metriken oft nur mit einfachen Betragsstrichen, schreibt, oder? Es müsste \(\Vert .\Vert\) stehen. Das hat mich verwirrt. Es muss ja die Wurzel gezogen werden bei der euklid. Norm.
In der Aufgabenstellung (siehe mein 1. Beitrag) wird davon ausgegangen, dass der unkt für Paris im Ursprung sitzt, korrekt, denn sonst müsste der 2. Fall der franz. Metrik lauten: \(\Vert x-p\Vert\) + \(\Vert p-y\Vert\) (p ist der Punkt/Vektor für Paris.
die franz. Metrik baut also einfach auf der euklid. Metrik auf.
Wie könnte ich Aufgabe b) lösen? Ich habe die Lösung, möchte aber soweit es geht, von selbst darauf kommen und verstehen-
Ich versuche einen Widerspruch herzuleiten, indem ich davon ausgehe, dass zwei Punkte x,y nicht auf einer Geraden liegen.
\
=>d(x,y)=norm(x)+norm(y) = sqrt(x_1^2+...+x_n^2) + sqrt(y_1^2+...+y_n^2)
(weil angenommen, dass die Metrik von der Norm mittels norm(x-y) induziert wird.
und
norm(x-y)=sqrt(abs(x_1^2-y_1^2) +...+ abs(x_n^2-y_n^2))
Diese beiden sind aber i.A. nicht gleich, z.B. für x=(1,0,...,1) und y=e_n=(0,...,1) Ist man dann fertig?
norm(x-y)=sqrt(1) != norm(x-y)=sqrt(2)+sqrt(1)
Danke.
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-08-09
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\quoteon(2021-08-08 00:53 - subzer0 in Beitrag No. 7)
Ich versuche einen Widerspruch herzuleiten, indem ich davon ausgehe, dass zwei Punkte x,y nicht auf einer Geraden liegen.
\
=>d(x,y)=norm(x)+norm(y) = sqrt(x_1^2+...+x_n^2) + sqrt(y_1^2+...+y_n^2)
(weil angenommen, dass die Metrik von der Norm mittels norm(x-y) induziert wird.
und
norm(x-y)=sqrt(abs(x_1^2-y_1^2) +...+ abs(x_n^2-y_n^2))
\quoteoff
Hallo, für die $2$-Norm wäre $\|x-y\|=\sqrt{|x_1-y_1|^2 +\ldots+ |x_n-y_n|^2}$. Das ist im Allgemeinen nicht das gleiche wie $\sqrt{|x_1^2-y_1^2| +\ldots+ |x_n^2-y_n^2|}$.
\quoteon
Diese beiden sind aber i.A. nicht gleich, z.B. für x=(1,0,...,1) und y=e_n=(0,...,1) Ist man dann fertig?
\quoteoff
Nicht so ganz, da ja nicht behauptet wird, dass die Metrik von dieser Norm induziert wird, sondern von gar keiner.
Du könntest zwei Punkte $x,y\in \mathbb R^n$ suchen, für die $d(x,0)\neq d(x+y,y)$ gilt. Denn dann kann $d$ nicht von einer Norm induziert sein, da sonst $d(x,0)=\|x\|=\|x+y-y\|=d(x+y,y)$ gelten würde.
Unterscheide die Fälle $n=1$ und $n>1$.
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subzer0
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-11
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\quoteon(2021-08-09 14:17 - ochen in Beitrag No. 8)
\quoteon(2021-08-08 00:53 - subzer0 in Beitrag No. 7)
Ich versuche einen Widerspruch herzuleiten, indem ich davon ausgehe, dass zwei Punkte x,y nicht auf einer Geraden liegen.
\
=>d(x,y)=norm(x)+norm(y) = sqrt(x_1^2+...+x_n^2) + sqrt(y_1^2+...+y_n^2)
(weil angenommen, dass die Metrik von der Norm mittels norm(x-y) induziert wird.
und
norm(x-y)=sqrt(abs(x_1^2-y_1^2) +...+ abs(x_n^2-y_n^2))
\quoteoff
Hallo, für die $2$-Norm wäre $\|x-y\|=\sqrt{|x_1-y_1|^2 +\ldots+ |x_n-y_n|^2}$. Das ist im Allgemeinen nicht das gleiche wie $\sqrt{|x_1^2-y_1^2| +\ldots+ |x_n^2-y_n^2|}$.
\quoteon
Diese beiden sind aber i.A. nicht gleich, z.B. für x=(1,0,...,1) und y=e_n=(0,...,1) Ist man dann fertig?
\quoteoff
Nicht so ganz, da ja nicht behauptet wird, dass die Metrik von dieser Norm induziert wird, sondern von gar keiner.
Du könntest zwei Punkte $x,y\in \mathbb R^n$ suchen, für die $d(x,0)\neq d(x+y,y)$ gilt. Denn dann kann $d$ nicht von einer Norm induziert sein, da sonst $d(x,0)=\|x\|=\|x+y-y\|=d(x+y,y)$ gelten würde.
Unterscheide die Fälle $n=1$ und $n>1$.
\quoteoff
Danke.
Ich verstehe den Ansatz, aber wie zum Teufel kommt man auf so ein Gegenbeispiel?
ist folgendes korrekt?
1)Wenn wir einen normierten Vektorraum haben, dann gibt es mindestens eine Norm, i.A. sogar mehrere Normen.
Durch jede dieser Norman kann man eine Metrik gewinnen/herleiten, indem man \(\Vert x-y\Vert=:d(x,y)\) setzt.
2) Es gibt i.A. (oder immer?) mehr Metriken als Normen in einem normierten Vektorraum. Es gibt insbesondere solche Metriken, wie die franz. Metrik, die nicht durch eine vorhanden Norm hergeleitet/gewonnen werden können.
3)Kann man auch Metriken aus Normen gewinnen, wenn man eine andere Rechenvorschrift wählt als \(\Vert x-y\Vert\)?
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ochen
Senior
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-08-11
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\quoteon(2021-08-11 14:01 - subzer0 in Beitrag No. 9)
Danke.
Ich verstehe den Ansatz, aber wie zum Teufel kommt man auf so ein Gegenbeispiel?
\quoteoff
Noch ist es kein Gegenbeispiel. Dazu musst du es noch konkreter machen.
\quoteon
ist folgendes korrekt?
1)Wenn wir einen normierten Vektorraum haben, dann gibt es mindestens eine Norm, i.A. sogar mehrere Normen.
Durch jede dieser Norman kann man eine Metrik gewinnen/herleiten, indem man \(\Vert x-y\Vert=:d(x,y)\) setzt.
\quoteoff
Ja :)
\quoteon
2) Es gibt i.A. (oder immer?) mehr Metriken als Normen in einem normierten
Vektorraum. Es gibt insbesondere solche Metriken, wie die franz. Metrik, die nicht durch eine vorhanden Norm hergeleitet/gewonnen werden können.
\quoteoff
Es gibt immer mindestens so viele Metriken wie Normen, da du jeder Norm eine Metrik zuordnen kannst. Dass es mehr Metriken als Normen gibt, ist schwierig zu zählen, glaube ich, weil es von beiden ja unendlich viele gibt.
\quoteon
3)Kann man auch Metriken aus Normen gewinnen, wenn man eine andere Rechenvorschrift wählt als \(\Vert x-y\Vert\)?
\quoteoff
Ja, da man aus Metriken auch andere Metriken machen kann. Zum Beispiel ist mit jeder Metrik $d$ auch $\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ eine Metrik. Insbesondere ist in normierten Vektorräumen also auch $\frac{\|x-y\|}{1+\|x-y\|}$ eine Metrik. Noch einfacher wäre es einfach nur zu skalieren, also so etwas wie $2d(x,y)$ oder so.
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2023-09-30 16:09 U <
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