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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Richtungsableitung
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Universität/Hochschule J Richtungsableitung
Dominik1112
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 6
  Themenstart: 2021-08-07

Sei $f:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$ definiert durch $f(x,y)=\frac{sin(x^3+y^3)}{x^2+y^2}$ für $(x,y)\neq (0,0)$ $f(x,y)=0$ für $ (x,y)=(0,0)$ Untersuchen Sie, für welche Richtungen $v\in \mathbb R^2\backslash \{0\} $ die Richtungsableitung $\partial_vf(0,0)$ existiert und bestimmen Sie diese gegebenenfalls. Ich habe angefangen mit dem Ansatz $\lim_{h\to 0}\frac{f(hv_1,hv_2)-f(0,0)}{h}=lim_{h\to 0} \frac {sin(h^3(v_1^3+v_2^3)}{h(v_1^2+v_2^2)}$ Zähler und Nenner gehen gegen 0 für h gegen 0, also kann ich L´hospital anwenden und erhalte $\lim_{h\to 0}\frac{f(hv_1,hv_2)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{3h^2(v_1^3+v_2^3) cos(h^3(v_1^3+v_2^3)}{v_1^2+v_2^2}=0$ Dementsprechend existieren alle Richtungsableitungen im Punkt (0,0) und sind =0. Ich wollte fragen, ob meine Rechnung so stimmt. LG


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Also ich denke, dass die Rechnung so nicht stimmt. Überprüfe noch einmal die Potenz, mit der das \(h\) bei dir im Nenner steht... Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)


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Dominik1112
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-07

stimmt, es müsste sein $\lim_{h\to 0}\frac{sin(h^3(v_1^3+v_2^3))}{h^3(v_1^2+v_2^2)}$ Wie kann ich davon den Grenzwert bestimmen?


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, was ist denn \(\ds\lim_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{bx}\)? Das kann man leicht per Potenzreihe oder auch der Regel von de l'Hospital bestimmen und hierauf anwenden. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Dominik1112
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-07

Dieser Grenzwert ist $\frac{a}{b}$ Dementsprechend bekomme ich für alle Richtungsableitungen $\partial_vf(0,0)=\frac{v_1^3+v_2^3}{v_1^2+v_2^2}$ Also existieren alle Richtungsableitungen, außer in Richtung (0,0).


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-08-07 12:46 - Dominik1112 in Beitrag No. 4) Dieser Grenzwert ist $\frac{a}{b}$ Dementsprechend bekomme ich für alle Richtungsableitungen $\partial_vf(0,0)=\frac{v_1^3+v_2^3}{v_1^2+v_2^2}$ Also existieren alle Richtungsableitungen,... \quoteoff Ja, das ist jetzt richtig. 👍 \quoteon(2021-08-07 12:46 - Dominik1112 in Beitrag No. 4) außer in Richtung (0,0). \quoteoff Nun, das ist ja auch keine Richtung. Und nebenbei würde auch für den Nullvektor der obige Grenzwert existieren. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Dominik1112
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-07

Dankeschön für deine Hilfe :)


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