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| Autor |
  Um welche Art von Singularität handelt es sich hier? |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2021-08-08
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Hey😄
könnt ihr mir vielleicht be dieser Aufgabe etwas auf die Sprünge helfen?
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54540_Bildschirmfoto_2021-08-08_um_13.39.19.png
Ich verstehe nicht so ganz, um welche Art von Singularität es sich in diesem Beispiel handelt. Ich habe das Ganze schon zu $\frac{z}{cos(iz)-1}$ umgeformt und bekomme als einzige Sigularität, die in $G$ liegt, hier $0*2\pi ik$ heraus mit $k=0$.
Damit habe ich ja sowohl im Zähler als auch im Nenner die gleiche Anzahl an Nullstellen für $0$, nämlich $1$, weshalb es sich ja eigentlich um eine hebere Singularität und Residiuum $0$ handeln müsste.
In der Lösung kommt aber $4\pi i$ heraus und ich verstehe nicht wieso, dann muss es sich ja um einen Pol gehandelt haben...
Versteht ihr, wie man darauf kommt?
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Viele Grüße
happy_hippo
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4404
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-08
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\quoteon(2021-08-08 13:48 - happy_hippo im Themenstart)
Damit habe ich ja sowohl im Zähler als auch im Nenner die gleiche Anzahl an Nullstellen für $0$, nämlich $1$
\quoteoff
Es ist $\cosh z-1=\frac12z^2+\ldots$.
--zippy
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2050
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-08-08
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
wir haben $f(z)=\frac{z}{\cosh(z)-1}$. Die Singularitäten sind die Nullstellen des Nenners. Nun gilt es die Gleichung
$$
\cosh(z)=1
$$
zu lösen (das überlasse ich dir). Du solltest als Lösung
$$
\cosh(z)=1 \ \Longleftrightarrow \ z=2\pi\i n, \ n\in \mathbb Z
$$
erhalten. Für $z=0$ haben sowohl Zähler als auch Nenner gleichzeitig eine Nullstelle, das hast du schon richtig erkannt. Deine Folgerung, dass es sich dann aber um eine hebbare Singularität handeln muss ist nicht unbedingt richtig.
Beachte die Ordnungen der Nullstellen. Edit: Mit zippy's Beitrag kannst du die Ordnung der Nullstelle des Nenners in $z=0$ direkt ablesen.
LG Nico
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-08
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Vielen Dank für eure Antworten nzimme10 und zippy,
ich denke ich habe es dann verstanden. Dann haben wir ja im Nenner mit dem Tipp unendlich viele Nullstellen für $z=1$.
Ich komme dann sich auf $2$ für das Residuum und insgesamt auf die $4 \pi i$, vielen Dank!😄
LG
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2543
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-08-08
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Huhu happy_hippo,
du kannst auch (zweimal) erweitern:
\(\displaystyle \frac{z}{\cosh(z)-1}=\frac{z(\cosh(z)+1)}{\sinh^2(z)}=\underbrace{\frac{z^2(\cosh(z)+1)}{\sinh^2(z)}}_{=:h(z)}\frac{1}{z}\)
Da \(h\) für \(z\to 0\) eine hebbare Singularität hat (da \(\frac{z}{\sinh(z)}\to 1\) für \(z\to 0\)), hat \(f\) also ein Pol erster Ordnung an dieser Stelle.
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2050
Wohnort: Köln
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-08
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
\quoteon(2021-08-08 14:53 - happy_hippo in Beitrag No. 3)
Dann haben wir ja im Nenner mit dem Tipp unendlich viele Nullstellen für $z=1$.
\quoteoff
Ich bin mir nicht sicher was du damit meinst? Der Nenner hat in $z=0$ eine Nullstelle der Ordnung $2$ ("doppelte Nullstelle"), während der Zähler dort nur eine Nullstelle der Ordnung $1$ ("einfache Nullstelle") hat. Daher ist insgesamt $\opn{ord}_0(f)=-1$ und $f$ hat in $z=0$ einen Pol erster Ordnung, wie auch Kuestenkind's Antwort schön zeigt.
LG Nico\(\endgroup\)
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-08
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Hallo Küstenkind und nzimme10,
vielen Dank, dass ihr mir noch einmal geantwortet habt.
Erst einmal tut mir leid, für die Verwirrung, ich meinte $z=0$.
Ich habe wohl etwas zu früh gedacht ich hätte es verstanden, aber ich denke dassich es jetzt wirklich verstehe.
Ich dachte zuerst die Ordnung der Nulstellen wäre unendlich, weil die Taylorreihe des cosh ja unendlich viele Summanden hat, aber mir ist jetzt klar, warum es $2$ sein muss, nämlich weil dies der Summand mit dem höchsten Exponenten ist.
Vielen Dank nochmal😃👍
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2050
Wohnort: Köln
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-08-08
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
das stimmt immer noch nicht ganz. Nach dem Term mit $z^2$ kommen ja noch unendlich viele Summanden mit größerem Exponenten.
Die Ordnung ist $2$, da $z^2$ der Summand mit dem niedrigsten Exponenten ist, dessen Koeffizient in der Taylorreihe nicht verschwindet!
Eine einheitliche Definition der Ordnung bekommt man über die Laurent-Entwicklung. Ist $G\subseteq \mathbb C$ ein Gebiet, $p\in G$, $f\colon G\setminus\lbrace p\rbrace\to \mathbb C$ holomorph und $\sum\limits_{n=-\infty}^\infty a_n(z-p)^n$ die Laurent-Reihe von $f$ um $p$, so definiert man die Ordnung von $f$ in $p$ durch
$$
\opn{ord}_p(f):=\inf\lbrace n\in \mathbb Z\mid a_n\neq 0\rbrace \in \mathbb Z\cup\lbrace \pm\infty\rbrace,
$$
wobei $\inf \emptyset:=\infty$. Die selbe Definition kann man natürlich auch verwenden, wenn $f$ auch in $p$ definiert ist und damit gar keine Singularität hat.
LG Nico\(\endgroup\)
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-08
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Hallo nzimme10,
vielen Dank, dass du mir nochmal so ausführlich geantwortet hast, dass ist wirklich sehr nett.
Ich bin mir ziemlich sicher dass ich es jetzt aber wirklich verstanden habe. Vielen Dank für deine Geduld.😄
LG
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2543
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-08-08
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Huhu,
das könnten wir ja mal testen: Was haben denn \(f(z):=\frac{1}{1-\cos z}\) und \(h(z):= \frac{\sinh(z)}{\sin^5(z)}\) nun an der Stelle \(z=0\)?
Gruß,
Küstenkind
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-08
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Hey kuestenkind, tut mir leid für die späte Antwort und danke für die Rückfragen. Damit habe ich nicht gerechnet.😄
Ich denke, dass $f(z)$ an der Stelle $z=0$ einen Pol 2.ter Ordnung hat und für $h(z)$ bin ich so vorgegangen:
$h(z)=\frac{-sin(iz)}{sin^5(z)}$. Wenn man die Taylorrheihe vom $sin^5(x)$ um $0$ betrachtet wäre das (nur die 5.te Ableitung würde stehen bleiben): $sin^5(x)=\frac{120cos(0)}{5!}x^5+O(x^6)=x^5+O(x^6)$, d.h. die Vielfachheit der Nullstelle von $z=0$ im Nenner ist $5$.
Im Zähler würde das wieder, wie in der ursprünglichen Aufgabe, die Vielfachheit $2$ bedeuten, d.h. es liegt hier ein Pol 3.ter Ordnung vor.
Ich hoffe ich habe das einigermaßen richtig gemacht, aber vielen Dank nochmal für die schönen Aufgaben😄👍
LG
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4404
| Beitrag No.11, eingetragen 2021-08-08
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\quoteon(2021-08-08 19:36 - happy_hippo in Beitrag No. 10)
Im Zähler würde das wieder, wie in der ursprünglichen Aufgabe, die Vielfachheit $2$ bedeuten
\quoteoff
Wie kommst du denn auf $2$? $\sinh x$ und $\sin x$ sind beides Potenzreihen, die mit $x^1$ starten.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-09
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Danke zippy, dass hatte ich nicht beachtet. Ich hatte da glaube ich noch die Potenzreihe von $\cosh z-1=\frac12z^2+\ldots $ im Kopf.
So müsste es dann ein Pol der Ordnung 4 sein, wenn meine Überlegung für den Nenner stimmt😄
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2543
| Beitrag No.13, eingetragen 2021-08-09
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Ja - das stimmt. Mit Erweitern wäre es ja wieder \(\frac{z^5}{\sin^5(z)}\frac{\sinh(z)}{z}\frac{1}{z^4}\), wobei die ersten beiden Faktoren gegen \(1\) gehen für \(z \to 0\).
Gruß,
Küstenkind
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-09
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Super, vielen Dank nochmal für die guten Übungen, Kuestenkind😄👍
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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