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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Aktivitätsberechnung (HWZ, Mutternuklid, Tochternuklid)
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Universität/Hochschule Aktivitätsberechnung (HWZ, Mutternuklid, Tochternuklid)
physics100
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  Themenstart: 2021-08-09

Hallo zusammen! Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Es handelt sich um das radioaktive Gleichgewicht. Die Aufgabenstellung lautet: Ra-226 (Halbwertszeit T1/2= 1600 Jahre) ist das Mutternuklid von Rn-222 (Halbwertszeit T1/2=3,82 Tage). Wie groß die Aktivität des Tochternuklides Rn-222 aus dem Zerfall von Ra-226 nach einem Zeitpunkt t=38 Tagen, wenn zum Zeitpunkt t=0 die Aktivität von Ra-226 1 MBq beträgt (geforderte Genauigkeit plus/minus 5%) Meine Ideen: Es handelt sich um ein säkulares GGW, d.h. die Halbwertzeit des Mutternuklides ist viel viel größer als die HWZ des Tochternuklides. Zur Berechnung muss ich diese Formel verwenden: A(t)= A0(t) * λ1/ λ1-λ0 Da die Zerfallskonstante des Mutternuklides λ0 sehr viel kleiner ist als die des Tochternuklides λ1, kann man λ0 vernachlässigen. Somit kürzt sich der Term λ1/λ1-λ0 weg und wir erhalten nur die Formel A1(t)=A0(t) * (1 - e^-λ1 * t) Soweit ist alles verständlich, aber beim Ausrechnen hatte ich Probleme. Ich weiß nicht, welche Werte ich einsetzen soll. Ich habe für A0= 1 MBq, für t= 20 Tage= 1728000 s und für λ1= 7,634443751823 × 10-10 s^-1 Was noch wichtig zu wissen ist: Ich muss hier eigentlich keine Formel verwenden. Der Prof. meinte, dass wir solche Berechnungen ohne Formel lösen können, aber wie? Ich kann die Aufgabe weder mit der Formel noch ohne Formel lösen., Ich weiß zwar, dass nach 10 Halbwertszeiten die Aktivität des Tochternuklides und die Aktivität des Mutternuklids gleich sind. Und aus dieser Überlegung müsste ich eigentlich die Aufgaben lösen können, aber ich kann sie trotzdem nicht lösen. Das Forum hier ist meine letzte Hoffnung, ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Ich bedanke mich im Voraus für jegliche Hilfe!


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-10

Moin physics100, bezeichnen wir mit $A_0(t)$ bzw. $A_1(t)$ die Aktivität des Mutter- bzw. Tochternuklids zur Zeit $t$, dann gilt (wie sicher in deinem Skriptum zu finden ist und was auch den von dir erwähnten Näherungsformeln zugrunde liegt) \[A_0(t) = A_0(t = 0) e^{-\lambda_0 t}, \quad A_1(t) = A_0(t) \frac{\lambda_1}{\lambda_1-\lambda_0} \left(1-e^{-(\lambda_1-\lambda_0)t}\right). \tag{1}\] Wie du schon erwähnt hast, liegt hier die Situation $\lambda_0 \ll \lambda_1$ bzw. (mit den Halbwertszeiten) $T_{1/2, 1} \ll T_{1/2,0}$ vor. Das ergibt, wie du richtig geschrieben hast, die Näherung \[A_1(t) \approx A_0(t) \left(1-e^{-\lambda_1 t}\right). \tag{2}\] Zusätzlich hast du nun den Fall vorliegen, dass $T_{1/2, 1} \ll t \ll T_{1/2,0}$ gilt. Daraus folgen die Näherungen \[e^{-\lambda_0 t} \approx 1, \quad e^{-\lambda_1 t} \approx 0. \tag{3}\] Kannst du nun erkennen, weshalb und wie du im vorliegenden Setting (also $T_{1/2, 1} \ll t \ll T_{1/2,0}$) die Aufgabe ohne Rechnung direkt beantworten kannst? LG, semasch


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physics100
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-10

Erstmal vielen lieben Dank für deine Hilfe. Um ehrlich zu sein, kann ich die Frage immer noch nicht beantworten. Normalerweise müssen die Aktivitäten identisch sein, deswegen muss ich irgendwie mit 1 MBq rechnen. Was mir noch einfällt ist, dass das Mutternuklid nur so viele Atome des Tochternuklids nachliefert, wie im gleichen Zeitraum Tochternuklidatome zerfallen. Ich würd´ dann nur die Aktivität des Tochternuklides berechnen, aber das wäre jetzt auch nicht richtig, glaube ich. Aber wie ich die Aufgabe ohne Rechnung lösen kann, weiß ich leider nicht.


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semasch
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-11

Vorab: Ich habe in Beitrag #1 Gleichungsnummern eingefügt, auf die ich mich hier beziehe. \quoteon(2021-08-10 20:47 - physics100 in Beitrag No. 2) Um ehrlich zu sein, kann ich die Frage immer noch nicht beantworten. Normalerweise müssen die Aktivitäten identisch sein, deswegen muss ich irgendwie mit 1 MBq rechnen. Was mir noch einfällt ist, dass das Mutternuklid nur so viele Atome des Tochternuklids nachliefert, wie im gleichen Zeitraum Tochternuklidatome zerfallen. Ich würd´ dann nur die Aktivität des Tochternuklides berechnen, aber das wäre jetzt auch nicht richtig, glaube ich. Aber wie ich die Aufgabe ohne Rechnung lösen kann, weiß ich leider nicht. \quoteoff Das ist ja schon fast die ganze Lösung. Setze doch einfach mal die Beziehungen aus $(3)$ in die erste Gleichung in $(1)$ und die Beziehung in $(2)$ ein. Dann findest du einerseits, wie du oben beschrieben hast, dass die Aktivitäten der beiden Nuklidarten gleich sind und andererseits deren Wert. LG, semasch


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physics100
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-11

Also wenn ich die Beziehungen einsetze, bekomme ich 1 MBq. A1(t)= A0(t)*(1-e^(-λ1+ λ0)*t) A1(t)= 1 MBq * (1-0)=1 MBq Meinst du das passt so?


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semasch
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-11

Ja, genau, im Zeitbereich $T_{1/2,1} \ll t \ll T_{1/2,0}$ gilt ganz allgemein \[A_1(t) \approx A_0(t) \approx A_0(t = 0).\] Deswegen kann man, wenn man sich in diesem Zeitbereich bewegt, stets ohne weitere Rechnung sagen, dass die Aktivitäten von Mutter- und Tochternuklid näherungsweise gleich der Anfangsaktivität des Mutternuklids sind. LG, semasch


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physics100
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-11

Vielen lieben Dank Semasch! Was noch unklar ist: Wie wusstest du, dass e^ -λ0*t = 1 und e^-λ1*t=0. Also wie bist du auf diese Näherung gekommen?


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semasch
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-08-11

Für $T_{1/2,1} \ll t \ll T_{1/2,0}$ gilt $t/T_{1/2,0} \ll 1 \ll t/T_{1/2,1}$ und daher \[e^{-\lambda_0 t} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2,0}}} \approx 1, \quad e^{-\lambda_1 t} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2,1}}} \approx 0.\] LG, semasch


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physics100
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-11

Ich weiß nicht, ob die Frage berechtigt ist, aber wie bist du auf 2 gekommen? Also wie bist du von der e-Funktion auf diese Überlegung 2^-t/T1 2,0 gekommen? Und tut mir leid, dass ich so viel frage.


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Caban
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-08-11

Hallo Die Aktivität halbiert sich innerhalb der Halbwertszeit, allso lässt sich die Funktion als A_0*(1/2)^(t/t_(1/2) schreiben und mit (a/b)^(-n)=(b/a)^n umfornen. Gruß Caban


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physics100
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-13

Danke Caban für die Erklärung. Aber ich versteh´ immer noch nicht wie wir auf e^-λ0*t= 2^-t/ T1 2,0 gekommen sind. Wie haben wir das auf 2^-t/ T1 2,0 umgeformt?


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semasch
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-08-13

Der radioaktive Zerfall einer Teilchenart mit Teilchenzahl $N$ (anfänglicher Wert $N_0$) folgt (wenn Teilchen dieser Art nicht gleichzeitig auch noch produziert werden) dem Gesetz \[N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\] mit Zerfallskonstante $\lambda$. Die Halbwertszeit $T_{1/2}$ ist implizit durch die Gleichung \[N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} = N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2}\] definiert. Daraus folgt \[T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}.\] Damit hat man dann \[N(t) = N_0 e^{-\lambda t} = N_0 e^{-\ln(2) \frac{t}{\frac{\ln(2)}{\lambda}}} = N_0 e^{-\ln(2) \frac{t}{T_{1/2}}} = N_0 \left(e^{\ln(2)}\right)^{-\frac{t}{T_{1/2}}} = N_0 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}.\] LG, semasch


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physics100
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-15

VIelen lieben Dank für die ausführliche und verständliche Erklärung! Jetzt hab ich´s verstanden. Danke dir vielmals Beste Grüße!


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physics100 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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