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Analysis » Funktionentheorie » Verschwinden holomorpher Vektorfelder auf CP^n
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Universität/Hochschule Verschwinden holomorpher Vektorfelder auf CP^n
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2021-08-15

\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) Hallo, ich bräuchte eine Idee für die folgende Aufgabe... (Huybrechts, Complex Geometry, Exercise 2.4.2) Problem: Gibt es holomorphe Vektorfelder, i.e. globale Schnitte vom holomorphen Tangentialbündel $T(\IC\mathbb{P}^n)$, die nur in endlich vielen Punkten verschwinden? Wenn ja, in wie vielen? Einige Überlegungen. 1. Im Falle $n=1$ haben wir $\IC\mathbb{P}^1\cong S^2$ als komplexe Mfk, und der Satz von Igel soll die Existenz eines holomorphes Vektorfeldes implizieren, das in gewissem Punkt verschwindet: Es ist $T(\IC\mathbb{P}^n)=(T_{\IR}(S^2)\otimes \IC)^{1,0}$. 2. Andererseits haben wir $H^0(\IC\mathbb{P}^1, \Omega^1_{\IC\mathbb{P}^1})=0$, also gibt es zumindest keine solchen Vektorfelder auf $\IC\mathbb{P}^1$. (da $T(\IC\mathbb{P}^n)^\vee\cong \Omega^1_{\IC\mathbb{P}^1}$)\(\endgroup\)

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kurtg
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-16

Hallo Saki, ich habe mir kein konkretes Vektorfeld überlegt, aber kennst du die Eulerklasse und den Satz von Poincaré-Hopf, der den Satz vom Igel verallgemeinert? Die Eulercharakteristik des komplexen projektiven Raums der Dimension $n$ ist $n+1$. Ich vermute, das ist im Kapitel 2 von Huybrechts noch nicht dran gewesen. Du kannst aber mit der Eulersequenz die globalen Schnitte des Tangentialbündels ausrechnen.

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