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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Interpretation des Zerfallsgesetzes
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Universität/Hochschule Interpretation des Zerfallsgesetzes
Pi_Ist_Genau_3
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  Themenstart: 2021-08-17

Hallo Leute, das Zerfallsgesetz besagt bekanntlich, dass die Anzahl \(N(t)\) der noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanz zum Zeitpunkt \(t\geq0\) gegeben ist durch \[ N(t)=N_0e^{-\lambda t}, \] wobei \(N(0)=N_0\in\mathbb{N}_0\) die Anzahl der Atomkerne am Anfang und \(\lambda>0\) die Zerfallskonstante ist. Hergeleitet wird diese Formel aus der Differentialgleichung \(\dot{N}(t)=-\lambda N(t)\). Nach meinem Verständnis müsste \(N(t)\) eigentlich eine \(\mathbb{N}_0\)-wertige Zufallsvariable sein, denn eine Anzahl muss ja immer einer nichtnegative ganze Zahl sein und der radioaktive Zerfall ist ja ein zufälliger Vorgang. Angegeben wird nun stattdessen ein deterministischer Wert \(N(t)\in(0,N_0]\), welcher also insbesondere auch nicht ganzzahlig ist. Wie habe ich nun also die Zerfallsgleichung zu interpretieren? Ist eigentlich etwas gemeint wie \(\mathbb{E}[N(t)]=N_0e^{-\lambda t}\)? Kann man etwas über die Verteilung von \(N(t)\) aussagen?


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willyengland
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-17

"Das Zerfallsgesetz setzt als „Menge“ eine kontinuierliche, als reelle Zahl darstellbare Größe voraus. Es ist aber auch auf ganzzahlige Größen wie z. B. die Anzahl der Atome in der radioaktiven Substanzprobe anwendbar, denn es beschreibt jeweils den messtechnischen Erwartungswert, also Mittelwert über viele (gedachte) Einzelmessungen." https://de.wikipedia.org/wiki/Halbwertszeit


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-08-17

\quoteon(2021-08-17 12:39 - Pi_Ist_Genau_3 im Themenstart) Ist eigentlich etwas gemeint wie \(\mathbb{E}[N(t)]=N_0e^{-\lambda t}\)? \quoteoff So ist es. \quoteon(2021-08-17 12:39 - Pi_Ist_Genau_3 im Themenstart) Kann man etwas über die Verteilung von \(N(t)\) aussagen? \quoteoff Für einen einzelnen Atomkern ist $e^{-\lambda t}$ die Wahrscheinlichkeit, dass dieser bis zum Zeitpunkt $t$ noch nicht zerfallen ist. Da die insgesamt $N_0$ Kerne unabhängig voneinander zerfallen, ist die Zahl $N(t)$ der bis zum Zeitpunkt $t$ noch nicht zerfallenen Kerne binomialverteilt mit den Parametern $n=N_0$ und $p=e^{-\lambda t}$. --zippy


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Pi_Ist_Genau_3
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-17

Hallo zippy, das klingt einleuchtend, vielen Dank. Ist folgende Begründung dann richtig?: Bezeichnen wir mit \(T_i\) den Zeitpunkt des Zerfalls des \(i\)-ten Kerns (i.i.d), so ist \(\chi_{\{T_i>t\}}\) gleich \(1\) wenn der \(i\)-te Kern zum Zeitpunkt \(t\) noch nicht zerfallen ist und sonst gleich \(0\). Es folgt \(N(t)=\chi_{\{T_1>t\}}+\ldots+\chi_{\{T_{N_0}>t\}}\) und aus \(\mathbb{E}[N(t)]=N_0e^{-\lambda t}\) können wir \[N_0e^{-\lambda t}=\mathbb{E}[N(t)]=\mathbb{E}[\chi_{\{T_1>t\}}]+\ldots+\mathbb{E}[\chi_{\{T_{N_0}>t\}}]=N_0\mathbb{P}(T_i>t)\] und daher auch \[e^{-\lambda t}=\mathbb{P}(T_i>t)=\mathbb{P}(\chi_{\{T_i>t\}}=1)\] schließen, womit \(\chi_{\{T_i>t\}}\sim\operatorname{Ber}(e^{-\lambda t})\) (i.i.d) und damit \(N(t)\sim\operatorname{Bin}(N_0,e^{-\lambda t})\). Wegen \(\mathbb{P}(T_i\leq t)=1-\mathbb{P}(T_i>t)=1-e^{-\lambda t}\) gilt dann weiter \(T_i\sim\operatorname{Exp}(\lambda)\). Und falls das stimmt, wieso steht das dann so nicht in den Physik-Büchern? Ich tue mich leider immer recht schwer damit zu verstehen, was eigentlich gemeint ist und zwar bei so ziemlich jeder physikalischen Formel... Die Aussage "In der Kernphysik gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl \(N\) der zu einem Zeitpunkt \(t\) noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanzprobe an. Diese Anzahl beträgt \(N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda t}\) [...]" im von mir zitierten Wikipedia-Artikel ist ja dann offenbar falsch, da diese Anzahl weder eine kontinuierliche noch eine deterministische Größe ist.


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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-08-18

\quoteon(2021-08-17 17:56 - Pi_Ist_Genau_3 in Beitrag No. 3) da diese Anzahl weder eine kontinuierliche noch eine deterministische Größe ist. \quoteoff Dass diesen beiden Punkten üblichweise keine große Beachtung geschenkt wird, liegt an der Größenordnung der auftretenden Zahlen: Die relative Abweichung von $N(t)$ von einer kontinuierlichen Größe hat die Größenordnung $1/N_0$ und die relative Standardabweichung hat die Größenordnung $1/\sqrt{N_0}$. Für ein makroskopisches $N_0$ sind das zwei winzige Zahlen.


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Pi_Ist_Genau_3
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-18

Ist mit der relativen Abweichung der Wert \(\frac{|N-\mu|}{\mu}\) gemeint? Nach der Tschebyscheff-Ungleichung gilt wegen \(N(t)\sim\operatorname{Bin}(N_0,e^{-\lambda t})\) für \(\varepsilon>0\) \[\mathbb{P}\left(\frac{|N-\mu|}{\mu}\geq \varepsilon\right)\leq\frac{\sigma^2}{(\varepsilon\mu)^2}=\frac{np(1-p)}{\varepsilon^2n^2p^2}=\frac{1-p}{\varepsilon^2np}=\frac{1-e^{-\lambda t}}{\varepsilon^2N_0e^{-\lambda t}}=\frac{e^{\lambda t}-1}{\varepsilon^2N_0}.\] Wählt man z.B. \(\varepsilon=10^{-3}\) und betrachtet ein Mol eines Stoffes (\(N_0>10^{23}\)) und die Zeit \(t=\frac{\ln{m}}{\lambda}\) in der noch der \(m\)-te Teil der ursprünglichen Kerne vorhanden ist, so ergibt sich \[\mathbb{P}\left(\frac{|N-\mu|}{\mu}\geq 10^{-3}\right)


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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-08-19

\quoteon(2021-08-18 23:03 - Pi_Ist_Genau_3 in Beitrag No. 5) Ist mit der relativen Abweichung der Wert \(\frac{|N-\mu|}{\mu}\) gemeint? \quoteoff Mit "relative Abweichung von einer kontinuierlichen Größe" meine ich einfach das Verhältnis der diskreten Schrittweite 1 zum Wert $N(t)$. Und mit "relative Standardabweichung" meine ich das Verhältnis von Standardabweichung zum Erwartungswert, also$$ {\sqrt{E\bigl[(N(t)-\mu(t))^2\bigr]}\over\mu(t)} \quad\hbox{mit}\quad \mu(t)=E[N(t)] \;$$ \quoteon(2021-08-18 23:03 - Pi_Ist_Genau_3 in Beitrag No. 5) Müsste man dann noch stattdessen i.i.d. Messungen \(N_1,\ldots,N_k\) betrachten und irgendwie mit \(\frac{N_1+\ldots+N_k}{k}\) arbeiten? \quoteoff Wenn es darum geht, die Verteilung der Messergebnisse zu beschreiben und Erwartungswert und Varianz anzugeben, reicht es aus, eine Zufallsvariable $N(t)$ zu betrachten.


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