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Universität/Hochschule Lagrange - Verfahren, schwierige Gleichung lösen
Tonibraun
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  Themenstart: 2021-08-18

Guten Abend. Ich bräuchte dringend Hilfe bei einer Aufgabe, da morgen Nachmittag die Klausur ansteht... :/ Es geht um eine Lagrange - Aufgabe, die als Übung für die Klausur gedacht ist, aber ich habe Probleme bei der Gleichung, die am Ende zu lösen ist... Ich hoffe, mir kann da jemand helfen. Aufgabe: Gegeben sei a. eine beliebige positive, reelle Zahl $c \in \mathbb{R}_{\ge 0}$. b. $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto - \frac{1}{3} (x - 3)^{2} (y + 1)^{2} + 3 (x - 3)^{2} + 27(y + 1)^{2} + 21$ (Zielfunktion) c. $g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto 4(x - 3)^{2} + 36(y + 1)^{2}$ d. $g(x,y) = c$, also ausgeschrieben: $4(x - 3)^{2} + 36(y + 1)^{2} = c $ (Nebenbedingung) Gesucht sind a. die lokalen Extremwerte unter der gegebenen Nebenbedingung b. den maximalen Wert der lokalen Extremwerte der Zielfunktion in Abhängigkeit der Höhe der Nebenbedingungseinschränkung $c$. Mein Ansatz ist folgender: Ich bestimme zuerst die Lagrange-Funktion von $f$. Diese lautet $L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda \cdot (g(x,y) - c) = - \frac{1}{3} (x - 3)^{2} (y + 1)^{2} + 3 (x - 3)^{2} + 27(y + 1)^{2} + 21 + \lambda \cdot \left ( 4(x - 3)^{2} + 36(y + 1)^{2} - c \right ) = - \frac{1}{3} (x - 3)^{2} (y + 1)^{2} + 3 (x - 3)^{2} + 27(y + 1)^{2} + 21 + 4 \lambda (x - 3)^{2} + 36 \lambda (y + 1)^{2} - c \lambda $ Dann bestimme ich die partiellen Ableitungen: $\frac{\partial f(x, y, \lambda)}{\partial x} = \frac{2}{3} \left ( 12 \lambda - y^{2} - 2y + 8 \right ) (x - 3)$ $\frac{\partial f(x, y, \lambda)}{\partial y} = \frac{2}{3} \left ( 108 \lambda - x^{2} + 6x + 72 \right ) (y + 1)$ $\frac{\partial f(x, y, \lambda)}{\partial \lambda} = 36 (y + 1)^2 +4(x - 3)^2 - c$ Um die lokalen Extrema zu bestimmen, muss ich jetzt das Gleichungssystem $\frac{2}{3} \left ( 12 \lambda - y^{2} - 2y + 8 \right ) (x - 3) = 0$ $ \frac{2}{3} \left ( 108 \lambda - x^{2} + 6x + 72 \right ) (y + 1) = 0$ $36 (y + 1)^2 +4(x - 3)^2 - c = 0$ lösen. Und genau da liegt mein Problem. Mir fällt es unheimlich schwer, die Lösungen zu bestimmen, weil ich einfach keine strukturierte Vorgehensweise habe, um jeden Fall zu behandeln. Ich habe die Terme nicht ausmultipliziert, weil die Form vllt nützlich sein wird. Zu ersten Gleichung: Es kann entweder $\frac{2}{3} \left ( 12 \lambda - y^{2} - 2y + 8 \right )$ Null sein oder $(x - 3)$ oder sogar beide Terme. Ich habe also 3 Fälle. Fall 1: x = 3 Aus Gleichung III erhalte ich: $36 (y + 1)^{2} - c = 0$ $\Leftrightarrow (y + 1)^{2} = \frac{c}{36}$ $\Leftrightarrow y = \pm \sqrt{\frac{c}{36}} - 1$ Fall 1.1: $x = 3, y = + \sqrt{\frac{c}{36}} - 1$ Aus Gleichung $II$ erhalten wir: $ \frac{2}{3} \left ( 108 \lambda + 81 \right ) \sqrt{\frac{c}{36}} = 0$ $\Leftrightarrow 108 \lambda + 81 = 0$ $\Leftrightarrow \lambda = - \frac{3}{4}$ Fall 1.2: $x = 3, y = - \sqrt{\frac{c}{36}} - 1$ Wir erhalten ebenfalls $\lambda = - \frac{3}{4}$. Wir haben also schonmal zwei Lösungen: $\gamma_{1} = \left (3, \sqrt{\frac{c}{36}} - 1, - \frac{3}{4} \right )$ $\gamma_{2} = \left (3, - \sqrt{\frac{c}{36}} - 1, - \frac{3}{4} \right )$ Jetzt müsste ich mit Fall 2 weitermachen, also $\frac{2}{3} \left ( 12 \lambda - y^{2} - 2y + 8 \right ) = 0$, richtig? Da bekomme ich wahrscheinlich wieder zwei Lösungen. Dann müsste ich Fall 3 behandeln, also $\frac{2}{3} \left ( 12 \lambda - y^{2} - 2y + 8 \right ) = 0$ und $(x - 3) = 0$ ? Müsste ich mich dann um die zweite Gleichung dann kümmern und da auch alle möglichen Fälle behandeln oder gibt es da einen kürzeren Weg? Würde mich freuen, wenn man mir einmal zeigt, wie man so eine Gleichung löst, ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht... Wie viele Lösungen gibt es denn überhaupt??? Gruß, Toni


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-19

Moin Tonibraun, im Prinzip macht man das genau so, wie du das schon ausgeführt hast. Man kann die verschiedenen Fälle bloß noch ein wenig effizienter abhandeln. Dazu schreibt man das Gleichungssystem besser etwas weniger ausmultipliziert an gemäß \[(x-3)\left[(y+1)^2-9-12\lambda\right] = 0, \\ (y+1)\left[(x-3)^2-81-108\lambda\right] = 0, \\ 4(x-3)^2+36(y+1)^2-c = 0.\] Fall 1: $x-3 = 0$: Hier folgt aus der dritten Gleichung $y+1 = \pm \frac{\sqrt{c}}{6}$. Fall 2: $y+1 = 0$: Hier folgt aus der dritten Gleichung $x-3 = \pm \frac{\sqrt{c}}{2}$. Fall 3: $x-3 \neq 0$ und $y+1 \neq 0$: Aus der ersten und zweiten Gleichung folgt \[(y+1)^2 = 9+12\lambda, \quad (x-3)^2 = 81+108\lambda = 9(y+1)^2.\] Mit der dritten Gleichung erhält man schließlich \[y+1 = \pm \frac{\sqrt{c}}{6\sqrt{2}}, \quad x-3 = \pm \frac{\sqrt{c}}{2\sqrt{2}}.\] Wir haben also die Punkte \[\left(3, -1 \pm \frac{\sqrt{c}}{6}\right), \, \left(3 \pm \frac{\sqrt{c}}{2}, -1\right), \left(3 \pm \frac{\sqrt{c}}{2\sqrt{2}}, -1 \pm \frac{\sqrt{c}}{6\sqrt{2}}\right)\] als Kandidaten für lokale Extrema identifiziert. Da \[\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 4(x-3)^2+36(y+1)^2 = c\right\}\] kompakt und $f$ stetig ist, so nimmt $f$ auf dieser Menge ein globales Maximum und Minimum an. In Verbindung mit \[f\left(3, -1 \pm \frac{\sqrt{c}}{6}\right) = f\left(3 \pm \frac{\sqrt{c}}{2}, -1\right) = 21+\frac{3c}{4}, \\ f\left(3 \pm \frac{\sqrt{c}}{2\sqrt{2}}, -1 \pm \frac{\sqrt{c}}{6\sqrt{2}}\right) = 21 + \frac{3c}{4}-\frac{c^2}{1728}\] sieht man dann, dass die Punkte \[\left(3, -1 \pm \frac{\sqrt{c}}{6}\right), \, \left(3 \pm \frac{\sqrt{c}}{2}, -1\right)\] die lokalen und globalen Maxima darstellen, und die Punkte \[\left(3 \pm \frac{\sqrt{c}}{2\sqrt{2}}, -1 \pm \frac{\sqrt{c}}{6\sqrt{2}}\right)\] die lokalen und globalen Minima. LG, semasch


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semasch
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-08-19

Als kleiner Nachtrag: Falls nicht explizit das Verwenden des Verfahrens von Lagrange verlangt wird, kann man solche Aufgaben mitunter auch durch Reduktion der Anzahl der Unbekannten durch Auflösen der Nebenbedingungen und anschließender Extremwertrechnung ohne Nebenbedingungen lösen. Das funktioniert auch hier, da die Nebenbedingung zu \[\left(\frac{x-3}{\frac{\sqrt{c}}{2}}\right)^2 + \left(\frac{y+1}{\frac{\sqrt{c}}{6}}\right)^2 = 1\] umgeschrieben werden kann. Sie definiert also eine Ellipse mit Mittelpunkt $(3,-1)$ und den Halbachsen $\sqrt{c}/2$ bzw. $\sqrt{c}/6$. Damit können die Punkte $(x,y)$, die die Nebenbedingung erfüllen, durch \[(x,y) = \left(3+\frac{\sqrt{c}}{2} \cos(\varphi), -1+\frac{\sqrt{c}}{6} \sin(\varphi)\right) =: (x(\varphi),y(\varphi)), \, \varphi \in [0,2\pi),\] charakterisiert werden. Gemeinsam mit \[f(x(\varphi),y(\varphi)) = -\frac{c^2}{432} \cos(\varphi)^2 \sin(\varphi)^2 + \frac{3c}{4} \cos(\varphi)^2 + \frac{3c}{4} \sin(\varphi)^2 + 21 = 21 +\frac{3c}{4} - \frac{c^2}{1728} \sin(2\varphi)^2\] ergeben sich dann sofort die gleichen Ergebnisse wie in meinem vorigen Beitrag. LG, semasch


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Also beim Auflösen wäre ich eher zurückhaltend - das kann nämlich schiefgehen, siehe hier: http://www.mathematik.tu-dortmund.de/hm/Nicht_aufloesen.pdf Ansonsten macht man sich das Leben viel leichter, wenn man \( u=x-3\) und und \( v=y+1\) setzt - nur noch halb soviel zu schreiben. Und vielleicht \( c=d^2\). Und dann ist (da es eine Nebenbedingung im \( \IR^2\) ist), die Determinantenmethode sowieso ein Vorteil. Wenn man das nach der Standard-Lagrange-Methode rechnet, muss man noch nachrechnen, dass der Gradient von \( g\) nicht auf der durch \( g(x,y)=c\) definierten Menge verschwindet. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Tonibraun
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-19

Oh mein Gott, vielen vielen Dank!! Ich bin gestern leider eingeschlafen, so dass ich mir deine Antworten erst jetzt durch lesen kann... Die Rechnung macht auf jeden Fall Sinn. Die Fallunterscheidung bereitet mir oft Probleme, wenn ein Gleichungssystem quadratische oder kubische Terme enthält. Hoffentlich bekomme ich das heute hin. In deinem zweiten Eintrag hast du davon gesprochen, die Nebenbedingung nach einer Variable aufzulösen. Diese Variante war auch ein Teil der Aufgabe, den ich aber gestern bewusst weggelassen habe, da ich mich zunächst nur auf Lagrange fokussieren wollte. Sie beschreibt mehr oder weniger deine Vorgehensweise, wobei deine Version da eleganter aussieht. Es wäre wirklich super, wenn dafür auch noch Zeit übrig bleibt. Ich hänge nämlich bei zwei Teilaufgaben fest. Der zweite Teil dieser Aufgabe nennt sich "Nebenbedingung substituieren" und besteht aus 5 kleine Teilaufgaben. a. Bestimmen Sie die beiden impliziten Funktionen $y(x)$ und $x(y)$, so dass $g(x, y(x)) = c = g(x(y), y)$ b. Diskutiere die Eigenschaften der impliziten Funktionen c. Diskutiere die Eigenschaften der Grenzrate der Substitution d. Substituiere die variable $y$ durch $y(x)$ und optimiere $f(x, y(x))$ in Abhängigkeit der Höhe der Nebenbedingungseinschränkung $c$ e. Substituiere die variable $x$ durch $x(y)$ und optimiere $f(x(y), y)$ in Abhängigkeit der Höhe der Nebenbedingungseinschränkung $c$. Zu a) _____ Hier habe ich einfach nur die Nebenbedingung einmal nach x und einmal nach y umgestellt. Es ist $y(x) = \pm \frac{1}{6} \cdot \sqrt{c - 4(x - 3)^{2}} - 1$ (nach y umgestellt) $x(y) = \pm \frac{1}{3} \cdot \sqrt{c - 4(x - 3)^{2}} + 3$ (nach x umgestellt) Kann man die beiden Funktionen eleganter ausdrücken, so dass das $\pm$ verschwindet? Weiß nicht, wie ich sie dann durch $f$ auswerten soll, wenn ich ein $\pm$ - Zeichen habe. Bei der b) weiß ich nicht genau, welche Eigenschaften ich diskutieren soll... Gibt es irgendwas besonderes, auf das ich bei beiden Funktionen achten sollte? Die c) verstehe ich leider auch nicht. Ich weiß nicht, was mit Grenzrate der Substitution gemeint ist und welche Eigenschaften sie hat. Im Internet wird sie in Zusammenhang mit BWL o. Ä. erklärt, aber kann diesen Begriff in diesem Fall nicht richtig zuordnen... Die c. und d. bekomme ich wahrscheinlich selber hin, wenn ich beide Funktionen so umschreiben kann, dass das $\pm$ verschwindet. Das $\pm$ Zeichen irritiert mich nämlich, wenn ich $y(x)$ und $x(y)$ einsetze... Nochmal vielen Dank für die Hilfe. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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Tonibraun
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-19

\quoteon(2021-08-19 12:21 - Wally in Beitrag No. 3) Also beim Auflösen wäre ich eher zurückhaltend - das kann nämlich schiefgehen, siehe hier: http://www.mathematik.tu-dortmund.de/hm/Nicht_aufloesen.pdf Ansonsten macht man sich das Leben viel leichter, wenn man \( u=x-3\) und und \( v=y+1\) setzt - nur noch halb soviel zu schreiben. Und vielleicht \( c=d^2\). Und dann ist (da es eine Nebenbedingung im \( \IR^2\) ist), die Determinantenmethode sowieso ein Vorteil. Wenn man das nach der Standard-Lagrange-Methode rechnet, muss man noch nachrechnen, dass der Gradient von \( g\) nicht auf der durch \( g(x,y)=c\) definierten Menge verschwindet. Viele Grüße Wally \quoteoff Danke, Wally. Ich habe auch irgendwo mal gelesen, dass beim Einsetzen Lösungen verloren gehen können. Mir war aber nicht klar, warum. Werde mir erst heute Abend die PDF durchlesen können. Die Determinanten - Methode hatten wir nicht, aber sieht interessant aus. Gruß, Toni


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semasch
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-08-19

\quoteon(2021-08-19 12:25 - Tonibraun in Beitrag No. 4) Zu a) _____ Hier habe ich einfach nur die Nebenbedingung einmal nach x und einmal nach y umgestellt. Es ist $y(x) = \pm \frac{1}{6} \cdot \sqrt{c - 4(x - 3)^{2}} - 1$ (nach y umgestellt) $x(y) = \pm \frac{1}{3} \cdot \sqrt{c - 4(x - 3)^{2}} + 3$ (nach x umgestellt) Kann man die beiden Funktionen eleganter ausdrücken, so dass das $\pm$ verschwindet? Weiß nicht, wie ich sie dann durch $f$ auswerten soll, wenn ich ein $\pm$ - Zeichen habe. \quoteoff Ich denke, dass das genau so gemeint war, bis auf die Tatsache, dass in der zweiten Funktion wohl ein paar Tippfehler passiert sind. Ich würde vielleicht auch noch ein Subskript mithinzunehmen und die Definitionsbereiche angeben: \[y_{\pm}(x) = \pm \frac{1}{6} \cdot \sqrt{c - 4(x - 3)^{2}} - 1, \, x \in \left(3-\frac{\sqrt{c}}{2}, 3+\frac{\sqrt{c}}{2}\right), \\ x_{\pm}(y) = \pm \frac{1}{2} \cdot \sqrt{c - 36(y + 1)^{2}} + 3, \, y \in \left(-1-\frac{\sqrt{c}}{6}, -1+\frac{\sqrt{c}}{6}\right).\] \quoteon(2021-08-19 12:25 - Tonibraun in Beitrag No. 4) Bei der b) weiß ich nicht genau, welche Eigenschaften ich diskutieren soll... Gibt es irgendwas besonderes, auf das ich bei beiden Funktionen achten sollte? \quoteoff Ohne den Kontext der Vorlesung und eventuell ähnlicher Übungsaufgaben, die ihr dazu gemacht habt, ist mir hier auch nicht klar, was erwartet wird. Anschaulich gesprochen parametrisiert $y_{\pm}$ bzw. $x_{\pm}$ die (offene) obere/untere bzw. (offene) rechte/linke Hälfte der durch die Nebenbedingung definierten Ellipse. Viel mehr gibt es hier aus rein mathematischer Sicht auch nicht zu sagen. \quoteon(2021-08-19 12:25 - Tonibraun in Beitrag No. 4) Die c) verstehe ich leider auch nicht. Ich weiß nicht, was mit Grenzrate der Substitution gemeint ist und welche Eigenschaften sie hat. Im Internet wird sie in Zusammenhang mit BWL o. Ä. erklärt, aber kann diesen Begriff in diesem Fall nicht richtig zuordnen... \quoteoff Eine schnelle Google-Suche ergibt mir auch nur diesen Befund. Basierend auf den Ausführungen hier würde ich noch am ehesten vermuten, dass nach den Eigenschaften der Ableitungen der Funktionen $y_{\pm}$ bzw. $x_{\pm}$ gefragt ist, wobei wieder ohne Kontext nicht klar ist, worauf genau abgezielt wird. Es wundert mich allerdings sehr, dass dieser Begriff in einer klausurrelevanten Aufgabe auftaucht, wenn er weder in Vorlesung noch in Übung behandelt wurde. \quoteon(2021-08-19 12:25 - Tonibraun in Beitrag No. 4) Die c. und d. bekomme ich wahrscheinlich selber hin, wenn ich beide Funktionen so umschreiben kann, dass das $\pm$ verschwindet. Das $\pm$ Zeichen irritiert mich nämlich, wenn ich $y(x)$ und $x(y)$ einsetze... \quoteoff Ich nehme an, dass du (d) und (e) meinst. Nachdem $f(x,y)$ von $x$ nur über $(x-3)^2$ und von $y$ nur über $(y+1)^2$ abhängt, kürzt sich das $\pm$ beim Einsetzen raus, macht also keine Probleme. Abschließend ist es prinzipiell auch richtig, dass man, wie Wally angemerkt hat, beim Auflösen und Einsetzen zur Bestimmung der lokalen Extrema vorsichtig sein muss. Der Fehler im von Wally verlinkten Dokument kommt, übertragen auf das hiesige Problem, dadurch zustande, dass man nur die Funktionen $y_{\pm}$ verwendet, diese aber noch keinen Atlas der Nebenbedingungsmannigfaltigkeit definieren. Nimmt man aber auch noch die Funktionen $x_{\pm}$ mit hinzu, so wird ein Atlas definiert, und folglich können natürlich auch keine Extrema übersehen werden. LG, semasch


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Tonibraun
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-19

Okay, das hat mir nochmal sehr geholfen. Die Aufgabe zur Grenzrate einer Funktion kam in der Klausur zum Glück nicht dran :-) Vielen Dank für die schnelle Antwort. Eine kleine Frage hätte ich noch: Wie zeichnet man eigentlich $x(y)$ und $y(x)$ ein? Weil beide haben dieses $\pm$ - Zeichen und ich weiß nicht, welches Vorzeichen ich bei der Auswertung nehmen soll. Soll ich beispielweise bei $y(x)$ einfach die beiden Funktionen $\frac{1}{6} \cdot \sqrt{c - 4(x - 3)^{2}} - 1$ und $- \frac{1}{6} \cdot \sqrt{c - 4(x - 3)^{2}} - 1$ einzeichnen, oder wie genau? Gruß, Toni


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semasch
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-08-19

\quoteon(2021-08-19 18:46 - Tonibraun in Beitrag No. 7) Wie zeichnet man eigentlich $x(y)$ und $y(x)$ ein? Weil beide haben dieses $\pm$ - Zeichen und ich weiß nicht, welches Vorzeichen ich bei der Auswertung nehmen soll. Soll ich beispielweise bei $y(x)$ einfach die beiden Funktionen $\frac{1}{6} \cdot \sqrt{c - 4(x - 3)^{2}} - 1$ und $- \frac{1}{6} \cdot \sqrt{c - 4(x - 3)^{2}} - 1$ einzeichnen, oder wie genau? \quoteoff Mit $y_{\pm}$ sind zusammenfassend die Funktionen $y_+$ und $y_-$ gemeint, die sich durch zum Subskript passende Vorzeichenwahl in der Bildungsvorschrift der Funktion ergeben, nicht eine einzige Funktion. Die Graphen der einzelnen Funktionen kannst du wie gewohnt in einem Koordinatensystem einzeichnen. Analog für $x_{\pm}$. LG, semasch


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