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Universität/Hochschule J Orthonormalbasis und Vektorraumbasis
stefanstiege
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  Themenstart: 2021-08-20

Hallo, ich habe in einem Lehrbuch gelesen, dass eine Orthonormalbasis im endlich-dimensionalen Fall eine Vektorraumbasis ist (das kann man mit dem Gram-Schmidt-Verfahren begründen, oder?). Daher vermute ich mal, dass es unendlich-dimensionale Räume gibt, wo Orthonormalbasen keine VR-Basen sind. Gibt es da ein einfaches Beispiel? Zur Info: Ich kenne Orthonormalbasen als Familie von Vektoren, die paarweise orthogonal sind, Norm 1 haben und nach dem Lemma von Zorn existente maximale ONS sind. Freundliche Grüße, Stefan


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-20

Jede unendliche ONB tut es. Zum Beispiel $(e_n)_{n \in \IN}$ in $\ell^2(\IN)$.


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stefanstiege
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-22

Und diese ist dann keine Basis, weil sie nicht überabzählbar ist, oder? :) Woher weiß ich denn, dass es kein ONS gibt, das die $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ enthält?


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-22

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-08-22 13:40 - stefanstiege in Beitrag No. 2) Und diese ist dann keine Basis, weil sie nicht überabzählbar ist, oder? :) \quoteoff Vektorraumbasis bedeutet hier, dass die Vektoren linear unabhängig sind und sich jedes Element des Vektorraums als endliche Linearkombination der Basisvektoren darstellen lässt. Bei der von Triceratops angegebenen ONB von $\ell^2(\mathbb N)$ erhält man aber durch endliche Linearkombinationen nur Folgen die irgendwann abbrechen (also ab einem Index konstant $0$ sind). In $\ell^2(\mathbb N)$ gibt es aber sicherlich noch andere Folgen. LG Nico\(\endgroup\)


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stefanstiege
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-22

(war falsch) [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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stefanstiege
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-22

\quoteon(2021-08-22 13:45 - nzimme10 in Beitrag No. 3) \quoteon(2021-08-22 13:40 - stefanstiege in Beitrag No. 2) Und diese ist dann keine Basis, weil sie nicht überabzählbar ist, oder? :) \quoteoff Vektorraumbasis bedeutet hier, dass die Vektoren linear unabhängig sind und sich jedes Element des Vektorraums als endliche Linearkombination der Basisvektoren darstellen lässt. Bei der von Triceratops' angegebenen Basis von $\ell^2(\mathbb N)$ erhält man aber durch endliche Linearkombinationen nur Folgen die irgendwann abbrechen (also ab einem Index konstant $0$ sind). In $\ell^2(\mathbb N)$ gibt es aber sicherlich noch andere Folgen. LG Nico \quoteoff Ah ja, so kann man es auch einsehen, hast Recht! Bleibt nur noch die Frage, warum das ONS auch eine ONB ist.


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Triceratops
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-08-22

Ein ONS $B \subseteq V$ ist genau dann ein maximales ONS (also eine ONB), wenn $V = \overline{\langle B \rangle}$ bzw. $B^{\perp}=\{0\}$. Zum Beweis von $\Leftarrow$: Ist $x \in V \setminus B$ und $B \cup \{x\}$ ein ONS, so ist $x \in B^{\perp}=\{0\}$, Widerspruch zu $\lVert x \rVert = 1$. Für $x \in \ell^2(\IN)$ gilt $x = \sum_{n=0}^{\infty} x_n \cdot e_n$ und damit $x \in \overline{\langle \{e_n : n \in \IN\} \rangle}$.


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stefanstiege
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-22

Okay alles klar, danke dir.


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